Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que descobrir o domínio e a imagem da função . Além disso, vamos tentar desenhar um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções quadráticas e como elas se comportam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode assumir. Olhando a equação , vemos que ela é uma função quadrática, ou seja, ela envolve ao quadrado.
Funções quadráticas são definidas para todos os números reais, porque a gente pode elevar qualquer número real ao quadrado sem problema algum. Então, o domínio dessa função é:
íú

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de que a função pode atingir.
Observando a função , percebemos que o coeficiente de é negativo ( ). Isso significa que o gráfico da função é uma parábola que abre para baixo.
Para encontrar o valor máximo de , vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice em uma função quadrática é:
No nosso caso, e , então:
Substituindo na função para encontrar :
Então, o valor máximo de é 4. Como a parábola abre para baixo, os valores de são menores ou iguais a 4. Portanto, a imagem da função é:

Passo 4

Vamos fazer um esboço do gráfico da função .
  1. Vértice: Já descobrimos que está em .
  2. Interseções com o eixo Y: Quando , . Então, o gráfico passa pelo ponto .
  3. Interseções com o eixo X: Vamos encontrar os valores de quando :
Então, o gráfico corta o eixo nos pontos e .
  1. Forma da parábola: Como o coeficiente de é negativo, a parábola abre para baixo.
Com essas informaç��es, podemos desenhar uma parábola com o vértice no topo em e cruzando o eixo nos pontos e .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
O gráfico da função é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto e interceptações no eixo em e .

Exercícios relacionados

Interprete geometricamente os significados dos números (epslon) e (delta) da definição do limite de uma função quando se aproxima de um número real .
Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da no ponto indicado:
Para no ponto ;
Dada a função mostre que existe, mas a função não está definida para .