Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que descobrir o domínio e a imagem da função
. Além disso, vamos tentar desenhar um esboço do gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções quadráticas e como elas se comportam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode assumir. Olhando a equação
, vemos que ela é uma função quadrática, ou seja, ela envolve
ao quadrado.
Funções quadráticas são definidas para todos os números reais, porque a gente pode elevar qualquer número real ao quadrado sem problema algum. Então, o domínio dessa função é:
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de
que a função pode atingir.
Observando a função
, percebemos que o coeficiente de
é negativo (
). Isso significa que o gráfico da função é uma parábola que abre para baixo.
Para encontrar o valor máximo de
, vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice em uma função quadrática
é:
No nosso caso,
e
, então:
Substituindo
na função para encontrar
:
Então, o valor máximo de
é 4. Como a parábola abre para baixo, os valores de
são menores ou iguais a 4. Portanto, a imagem da função é:
Passo 4
Vamos fazer um esboço do gráfico da função
.
- Vértice: Já descobrimos que está em
. - Interseções com o eixo Y: Quando
, . Então, o gráfico passa pelo ponto . - Interseções com o eixo X: Vamos encontrar os valores de
quando :
Então, o gráfico corta o eixo
nos pontos
e
.
- Forma da parábola: Como o coeficiente de
é negativo, a parábola abre para baixo.
Com essas informaç��es, podemos desenhar uma parábola com o vértice no topo em
e cruzando o eixo
nos pontos
e
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Imagem:
O gráfico da função
é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto
e interceptações no eixo
em
e
.
Exercícios relacionados
Interprete geometricamente os significados dos números
(epslon) e
(delta) da definição do limite
de uma função
quando
se aproxima de um número real
.
Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
no ponto indicado:
Para no ponto
;
Para
Dada a função
mostre que
existe, mas a função
não está definida para
.