Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso. lim x 1(3 x-5)=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite. A questão pede para mostrar que o limite da função quando se aproxima de 1 é igual a -2. Vamos usar a definição formal de limite para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Basicamente, queremos garantir que fique tão perto de quanto quisermos, desde que esteja suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Então, e . Precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
|3x - 5 + 2| = |3x - 3| = 3|x - 1|
Então, queremos que .

Passo 5

Agora, vamos resolver para 3|x - 1| < epsilon implies |x - 1| < epsilon3 :
Isso nos dá uma condição para .

Passo 6

Portanto, podemos escolher |3x - 5 - (-2)| = 3|x - 1| < 3 cdot epsilon3 = epsilon . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Com isso, mostramos que .

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