Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite. A questão pede para mostrar que o limite da função quando se aproxima de 1 é igual a -2. Vamos usar a definição formal de limite para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Basicamente, queremos garantir que fique tão perto de quanto quisermos, desde que esteja suficientemente perto de .

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, queremos provar que . Então, e . Precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Então, queremos que .

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Isso nos dá uma condição para .

Passo 6

Portanto, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Com isso, mostramos que .

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Calcule os limites :
Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.
Interprete geometricamente os significados dos números (epslon) e (delta) da definição do limite de uma função quando se aproxima de um número real .
Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.