Dada a função h(x)=x^2-4x-2 mostre que lim x 2 h(x) existe, mas a função h não está definida para x=2.

Passo 1

Então, a gente tem a função . O problema pede para mostrar que o limite dessa função quando se aproxima de 2 existe, mas que a função não está definida exatamente em . Vamos usar conhecimentos de limites e simplificação de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função está definida em h(2) = 2^2 - 42 - 2 = 4 - 40 = 00 . Substituindo por 2 na função, temos:
Essa expressão é indeterminada, o que significa que a função não está definida em .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) quando h(x) = (x - 2)(x + 2)x - 2 se aproxima de 2. Antes de substituir diretamente, podemos simplificar a função. Observe que o numerador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, substituindo na função:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração, cancelando o termo h(x) = x + 2 para x neq 2 no numerador e denominador:
Essa simplificação nos permite calcular o limite facilmente.

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
limx to 2 h(x) = limx to 2 (x + 2) = 2 + 2 = 4

Resposta

O limite de quando se aproxima de 2 existe e é igual a 4. No entanto, a função não está definida para .

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