Dada a função
mostre que
existe, mas a função
não está definida para
.
Passo 1
Então, a gente tem a função
. O problema pede para mostrar que o limite dessa função quando
se aproxima de 2 existe, mas que a função
não está definida exatamente em
. Vamos usar conhecimentos de limites e simplificação de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função está definida em
. Substituindo
por 2 na função, temos:
Essa expressão é indeterminada, o que significa que a função
não está definida em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2. Antes de substituir diretamente, podemos simplificar a função. Observe que o numerador
pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
Então, substituindo na função:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração, cancelando o termo
no numerador e denominador:
Essa simplificação nos permite calcular o limite facilmente.
Passo 5
Agora, calculamos o limite:
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 2 existe e é igual a 4. No entanto, a função
não está definida para
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
no ponto indicado:
Para no ponto
;
Para
Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.
Calcule os limites :
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: