Determine a equação da reta tangente ao gráfico da no ponto indicado:
Para no ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo aqui! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar entender de derivadas, que nos dizem a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto onde vamos tangenciar. Sabemos que , então vamos calcular :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é:
Isso significa que a inclinação da reta tangente em é .

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma :
Subtraindo 2 de ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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