Interprete geometricamente os significados dos números epsilon (epslon) e delta (delta) da definição do limite L de uma função f quando x se aproxima de um número real a.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa entender o que significam geometricamente os números epsilon (epsilon) e delta (delta) na definição de limite de uma função f(x) que tende para um valor L quando x se aproxima de um número real a. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao conceito de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite usando epsilon e delta e como representar isso graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição formal do limite. Dizemos que:
significa que para todo , existe um tal que, se , então .
Aqui, epsilon representa uma margem de erro vertical (no eixo dos y) em torno do limite L, e delta representa uma margem de erro horizontal (no eixo dos x) em torno do ponto a.

Passo 3

Agora, vamos interpretar isso geometricamente. Imagine o gráfico da função f(x) e um ponto a no eixo x onde estamos avaliando o limite. O valor L é o ponto no eixo y que f(x) está se aproximando quando x chega perto de a.
  • epsilon (epsilon): Pense em epsilon como a altura de uma “faixa” horizontal ao redor de L. Essa faixa vai de até . Nosso objetivo é garantir que os valores de f(x) fiquem dentro dessa faixa quando x estiver suficientemente próximo de a.
  • delta (delta): Agora, delta é a largura dessa “faixa” horizontal no eixo x ao redor de a. Vai de até . Queremos determinar quão próximo x precisa estar de a (dentro dessa faixa de delta) para que os valores de f(x) fiquem dentro da faixa de epsilon.

Passo 4

Vamos visualizar isso:
  1. Trace no gráfico uma linha horizontal em .
  2. Crie duas linhas paralelas a , uma em e outra em . Essas duas linhas delimitam a banda vertical onde queremos que f(x) esteja.
  3. Agora, olhe para o eixo x e crie duas linhas verticais em e . Essas linhas definem o intervalo no qual x deve estar para que f(x) caia dentro da banda de epsilon.
Então, sempre que x estiver entre e (exceto possivelmente em ), f(x) estará entre e .

Passo 5

Em resumo, epsilon e delta são ferramentas que nos ajudam a quantificar a proximidade dos valores de f(x) ao limite L e a proximidade de x ao ponto a, respectivamente. Geometricamente:
  • epsilon define a “altura” da região vertical ao redor de L que queremos que f(x) permaneça.
  • delta define a “largura” da região horizontal ao redor de a onde x deve estar para que os valores de f(x) caiam dentro da região definida por epsilon.

Resposta

Geometricamente, epsilon representa a altura da faixa vertical em torno do limite L onde os valores de f(x) devem cair, e delta representa a largura da faixa horizontal em torno de a onde os valores de x devem estar para garantir que f(x) fique dentro da faixa de epsilon. Assim, epsilon controla a proximidade de f(x) a L, enquanto delta controla a proximidade de x a a no gráfico da função.

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