Interprete geometricamente os significados dos números
(epslon) e
(delta) da definição do limite
de uma função
quando
se aproxima de um número real
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa entender o que significam geometricamente os números
(epsilon) e
(delta) na definição de limite de uma função
que tende para um valor
quando
se aproxima de um número real
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente ao conceito de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite usando epsilon e delta e como representar isso graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição formal do limite. Dizemos que:
significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Aqui,
representa uma margem de erro vertical (no eixo dos
) em torno do limite
, e
representa uma margem de erro horizontal (no eixo dos
) em torno do ponto
.
Passo 3
Agora, vamos interpretar isso geometricamente. Imagine o gráfico da função
e um ponto
no eixo
onde estamos avaliando o limite. O valor
é o ponto no eixo
que
está se aproximando quando
chega perto de
.
-
(epsilon): Pense em como a altura de uma “faixa” horizontal ao redor de . Essa faixa vai de até . Nosso objetivo é garantir que os valores de fiquem dentro dessa faixa quando estiver suficientemente próximo de . -
(delta): Agora, é a largura dessa “faixa” horizontal no eixo ao redor de . Vai de até . Queremos determinar quão próximo precisa estar de (dentro dessa faixa de ) para que os valores de fiquem dentro da faixa de .
Passo 4
Vamos visualizar isso:
- Trace no gráfico uma linha horizontal em
. - Crie duas linhas paralelas a
, uma em e outra em . Essas duas linhas delimitam a banda vertical onde queremos que esteja. - Agora, olhe para o eixo
e crie duas linhas verticais em e . Essas linhas definem o intervalo no qual deve estar para que caia dentro da banda de .
Então, sempre que
estiver entre
e
(exceto possivelmente em
),
estará entre
e
.
Passo 5
Em resumo,
e
são ferramentas que nos ajudam a quantificar a proximidade dos valores de
ao limite
e a proximidade de
ao ponto
, respectivamente. Geometricamente:
-
define a “altura” da região vertical ao redor de que queremos que permaneça. -
define a “largura” da região horizontal ao redor de onde deve estar para que os valores de caiam dentro da região definida por .
Resposta
Geometricamente,
representa a altura da faixa vertical em torno do limite
onde os valores de
devem cair, e
representa a largura da faixa horizontal em torno de
onde os valores de
devem estar para garantir que
fique dentro da faixa de
. Assim,
controla a proximidade de
a
, enquanto
controla a proximidade de
a
no gráfico da função.