Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e a imagem da função e tentar esboçar o gráfico dela. Vamos precisar entender um pouco sobre funções, especialmente funções quadráticas e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , percebemos que temos um polinômio dentro do valor absoluto. Funções polinomiais, como , estão definidas para todos os números reais. O valor absoluto também está definido para qualquer número real. Então, não tem nenhuma restrição aqui.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como estamos lidando com um valor absoluto, sabemos que será sempre maior ou igual a zero, porque o valor absoluto nunca é negativo. Vamos analisar :
Quando , ou seja, , .
Quando , ou seja, , .
Então, a função varia a partir de 0 para cima, já que o menor valor ocorre quando , dando .
Passo 4
Vamos resumir:
Domínio: Todos os números reais, .
Imagem: Todos os valores reais não negativos, ou seja, .
Passo 5
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
A função é uma parábola com vértice na origem.
Subtraindo 3, temos , que move a parábola para baixo.
Aplicando o valor absoluto, toda a parte da parábola que estava abaixo do eixo é refletida para cima.
Então, o gráfico terá duas “branches” voltadas para cima, começando nos pontos onde e , onde . Para , o gráfico sobe como uma parábola normal, e para , ele forma uma parábola invertida, mas sempre acima do eixo .
Resposta
Domínio: (todos os números reais)
Imagem:
Esboço do Gráfico: Duas “branches” parabólicas voltadas para cima, tocando o eixo nos pontos e , formando uma espécie de “W” aberto para cima.