Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o domínio e a imagem da função e tentar esboçar o gráfico dela. Vamos precisar entender um pouco sobre funções, especialmente funções quadráticas e valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função , percebemos que temos um polinômio dentro do valor absoluto. Funções polinomiais, como , estão definidas para todos os números reais. O valor absoluto também está definido para qualquer número real. Então, não tem nenhuma restrição aqui.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como estamos lidando com um valor absoluto, sabemos que será sempre maior ou igual a zero, porque o valor absoluto nunca é negativo. Vamos analisar :
  • Quando , ou seja, , .
  • Quando , ou seja, , .
Então, a função varia a partir de 0 para cima, já que o menor valor ocorre quando , dando .

Passo 4

Vamos resumir:
  • Domínio: Todos os números reais, .
  • Imagem: Todos os valores reais não negativos, ou seja, .

Passo 5

Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
  • A função é uma parábola com vértice na origem.
  • Subtraindo 3, temos , que move a parábola para baixo.
  • Aplicando o valor absoluto, toda a parte da parábola que estava abaixo do eixo é refletida para cima.
Então, o gráfico terá duas “branches” voltadas para cima, começando nos pontos onde e , onde . Para , o gráfico sobe como uma parábola normal, e para , ele forma uma parábola invertida, mas sempre acima do eixo .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Imagem:
  • Esboço do Gráfico: Duas “branches” parabólicas voltadas para cima, tocando o eixo nos pontos e , formando uma espécie de “W” aberto para cima.

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Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.
Calcule os limites :
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Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.