Calcule os limites :
lim x +infty(1+1x)^x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o estudo de limites em funções exponenciais, um tópico importante em cálculo. Para resolver, vamos utilizar propriedades dos logaritmos e o conceito de número , que é a base dos logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural na expressão. Lembrando que o logaritmo natural de ln((1+1x)^x) = x cdot ln(1+1x) é 1, e isso nos ajudará a simplificar a expressão:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de x cdot ln(1+1x) approx x cdot 1x = 1 conforme tende ao infinito. Para isso, observamos que quando cresce muito, fica muito pequeno. Podemos usar a aproximação quando é próximo de 0:
Portanto, o limite do logaritmo natural é 1.

Passo 4

Como encontramos que L = e^1 = e , onde é o limite que queremos calcular, podemos reverter o logaritmo para encontrar :

Resposta

lim x +infty(1+1x)^x = e

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