Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a comprovar que a função se aproxima de um certo valor quando x se aproxima de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno positivo , podemos encontrar um intervalo ao redor de (usando ) tal que, se x estiver dentro desse intervalo (mas diferente de ), então estará dentro de de . Em fórmulas:

Passo 3

No nosso caso, , e . Então, queremos mostrar que para qualquer , existe um tal que:

Passo 4

Vamos simplificar . Podemos fatorar essa expressão:
Sabemos que x está próximo de -1, então podemos limitar o valor de . Por exemplo, se escolhermos , então:
Isso nos ajuda a limitar .

Passo 5

Agora, queremos que . Já que , temos:
Então, para garantir que , basta que .

Passo 6

Mas, na verdade, nosso ponto de interesse é se aproximando de , então ajustamos nossa escolha de . Combinando as condições, podemos escolher:
Isso garante que tanto quanto .

Resposta

Portanto, seguindo a definição de limite, mostramos que .

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Calcule os limites :
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Ache o domínio e imagem de cada uma delas. Tente fazer um esboço do gráfico da função.
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