Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso. lim x -1 x^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -1 x^2=1. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a comprovar que a função se aproxima de um certo valor quando x se aproxima de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que limx to a f(x) = L. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno positivo epsilon, podemos encontrar um intervalo ao redor de a (usando de) tal que, se x estiver dentro desse intervalo (mas diferente de a), então f(x) estará dentro de epsilon de L. Em fórmulas:
forall epsilon > 0, exists de 0 tal que 0 < |x - a| < de

Passo 3

No nosso caso, f(x) = x^2, a = -1 e L = 1. Então, queremos mostrar que para qualquer epsilon > 0, existe um de 0 tal que:
0 < |x - (-1)| < de

Passo 4

Vamos simplificar |x^2 - 1|. Podemos fatorar essa expressão:
|x^2 - 1| = |(x - 1)(x + 1)|
Sabemos que x está próximo de -1, então podemos limitar o valor de |x + 1|. Por exemplo, se escolhermos de, então:
|x + 1| < 1 Rightarrow -1 < x + 1 < 1 Rightarrow 0 < x < 2
Isso nos ajuda a limitar |x - 1|.

Passo 5

Agora, queremos que |(x - 1)(x + 1)| < epsilon. Já que |x + 1| < 1, temos:
|x - 1||x + 1| < |x - 1| cdot 1 = |x - 1|
Então, para garantir que |x^2 - 1| < epsilon, basta que |x - 1| < epsilon.

Passo 6

Mas, na verdade, nosso ponto de interesse é x se aproximando de -1, então ajustamos nossa escolha de de. Combinando as condições, podemos escolher:
de
Isso garante que tanto |x + 1| < 1 quanto |x - 1| < epsilon.

Resposta

Portanto, seguindo a definição de limite, mostramos que lim x -1 x^2=1.

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