Use a definição do exercício anterior para mostrar o limite da função em cada caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com limites de funções, um conceito fundamental no cálculo. Para resolver isso, vamos usar a definição de limite, que nos ajuda a comprovar que a função se aproxima de um certo valor quando x se aproxima de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno positivo
, podemos encontrar um intervalo ao redor de
(usando
) tal que, se x estiver dentro desse intervalo (mas diferente de
), então
estará dentro de
de
. Em fórmulas:
Passo 3
No nosso caso,
,
e
. Então, queremos mostrar que para qualquer
, existe um
tal que:
Passo 4
Vamos simplificar
. Podemos fatorar essa expressão:
Sabemos que x está próximo de -1, então podemos limitar o valor de
. Por exemplo, se escolhermos
, então:
Isso nos ajuda a limitar
.
Passo 5
Agora, queremos que
. Já que
, temos:
Então, para garantir que
, basta que
.
Passo 6
Mas, na verdade, nosso ponto de interesse é
se aproximando de
, então ajustamos nossa escolha de
. Combinando as condições, podemos escolher:
Isso garante que tanto
quanto
.
Resposta
Portanto, seguindo a definição de limite, mostramos que
.