Determine a curvatura da curva dada por
para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura da curva no ponto onde . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial de Curvas no Espaço 3D, especificamente a fórmula para calcular a curvatura usando as derivadas da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a curvatura de uma curva paramétrica no espaço é dada por:
Aqui, é a primeira derivada da curva, é a segunda derivada, e representa o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da curva :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada derivando novamente :
Derivando cada componente:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Usando a regra do produto vetorial:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a norma do produto vetorial :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma de , :
Então:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto é:

Exercícios relacionados

O triedro de Frenet é um conjunto de três vetores ortogonais (tangente , normal e binormal B) que descrevem a geometria local de uma curva no espaço tridimensional e satisfazem as equações:
onde é a curvatura e é a torção da curva. Calcule a torção da função vetorial
Em cada caso, esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada, encontre , e esboce o vetor posição e o vetor tangente para o valor dado de .
a)
Encontre o domínio e a imagem das funções abaixo.
Ache o domínio, a imagem e desenhe o gráfico das funções abaixo.