Determine a curvatura da curva gamma dada por
gamma(t) = (d8 * t, (raiz(2) * d8) / (d7 + 1) * t^(d7 + 1), (d8 * t^(2 * d7 + 1)) / (2 * d7 + 1))
para t = d6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura da curva gamma(t) no ponto onde . A matéria envolvida aqui é o Cálculo Diferencial de Curvas no Espaço 3D, especificamente a fórmula para calcular a curvatura usando as derivadas da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a curvatura kappa de uma curva paramétrica no espaço é dada por:
Aqui, é a primeira derivada da curva, é a segunda derivada, e x vezes y representa o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da curva gamma(t):
Derivando cada componente em relação a t:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda derivada derivando novamente :
Derivando cada componente:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Usando a regra do produto vetorial:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 6

Vamos calcular a norma do produto vetorial :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma de , :
Então:

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva gamma no ponto é:

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