Ache duas bases ortonormais para com respeito ao produto interno .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas **bases ortonormais** para o conjunto das matrizes reais, denotado por . Vamos usar o **produto interno pelo traço**, que é definido por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, bases e produto interno. Vamos precisar construir matrizes que sejam **ortogonais** (produtos internos iguais a zero) e **normalizadas** (produto interno consigo mesmas igual a um).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma **base ortonormal**. É um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são mutuamente **ortogonais** e cada um tem **norma 1**. A norma de uma matriz é dada por . Queremos que, para qualquer duas matrizes diferentes e da base, e que .
Passo 3
Vamos começar construindo uma base simples para . Pense em quatro matrizes que têm apenas um elemento igual a 1 e os demais igual a 0. Essas matrizes são:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas matrizes já são **ortonormais** com respeito ao produto interno pelo traço.
1. **Normalização**:
- Para :
- O mesmo vale para , e :
2. **Ortogonalidade**:
- Para diferente de :
Isso ocorre porque as matrizes têm 1 em posições diferentes, então o produto resultará em matrizes com todos os elementos iguais a 0, cujo traço é 0.
Portanto, as matrizes formam uma **base ortonormal**.
Passo 5
Agora, vamos construir uma **segunda base ortonormal**. Podemos criar combinações lineares das matrizes de forma que também satisfaçam as condições de ortogonalidade e normalização. Uma maneira comum de fazer isso é usando matrizes simétricas e antissimétricas. Por exemplo:
1. **Matrizes Simétricas**:
2. **Matrizes Antissimétricas**:
Vamos verificar rapidamente a ortogonalidade e normalização dessas matrizes usando o produto interno pelo traço.
Resposta
Duas bases ortonormais para com respeito ao produto interno pelo traço são:
**Base 1:**
**Base 2:**
Essas bases satisfazem as condições de ortogonalidade e normalização com respeito ao produto interno pelo traço, formando assim duas bases ortonormais para .
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