Ache duas bases ortonormais para R^2 times 2 com respeito ao produto interno lang<=, rang<=t r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas bases ortonormais para o conjunto das matrizes reais, denotado por . Vamos usar o produto interno pelo traço, que é definido por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, bases e produto interno. Vamos precisar construir matrizes que sejam ortogonais (produtos internos iguais a zero) e normalizadas (produto interno consigo mesmas igual a um).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. É um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1. A norma de uma matriz é dada por . Queremos que, para qualquer duas matrizes diferentes e da base, e que .

Passo 3

Vamos começar construindo uma base simples para E1 = 1 & 0 0 & 0, E2 = 0 & 1 0 & 0, E3 = 0 & 0 1 & 0, E4 = 0 & 0 0 &1 . Pense em quatro matrizes que têm apenas um elemento igual a 1 e os demais igual a 0. Essas matrizes são:

Passo 4

Agora, vamos verificar se essas matrizes já são ortonormais com respeito ao produto interno pelo traço.
  1. Normalização:
    • Para |E1| = raizlang<= E1, E1 rang<=tr = raiztr(E1^T E1) = raiztr(E1) = raiz1 = 1 : |E2| = |E3| = |E4| = 1
    • O mesmo vale para lang<= Ei, Ej rang<=tr = tr(Ei^T Ej) = 0 , e :
  2. Ortogonalidade:
    • Para diferente de : Isso ocorre porque as matrizes têm 1 em posições diferentes, então o produto resultará em matrizes com todos os elementos iguais a 0, cujo traço é 0.
Portanto, as matrizes formam uma base ortonormal.

Passo 5

Agora, vamos construir uma segunda base ortonormal. Podemos criar combinações lineares das matrizes S1 = 1raiz21 & 1 1 & 0, S2 = 1raiz21 & -1 -1 & 0 de forma que também satisfaçam as condições de ortogonalidade e normalização. Uma maneira comum de fazer isso é usando matrizes simétricas e antissimétricas. Por exemplo:
  1. Matrizes Simétricas:
    A1 = 1raiz20 & 1 -1 & 0, A2 = 1raiz20 & 1 1 & 0
  2. Matrizes Antissimétricas:
Vamos verificar rapidamente a ortogonalidade e normalização dessas matrizes usando o produto interno pelo traço.

Resposta

Duas bases ortonormais para 1 & 0 0 & 0, 0 & 1 0 & 0, 0 & 0 1 & 0, 0 & 0 0 & 1 com respeito ao produto interno pelo traço são:
Base 1:
1raiz21 & 1 1 & 0, 1raiz21 & -1 -1 & 0, 1raiz20 & 1 -1 & 0, 1raiz20 & 1 1 & 0
Base 2:
Essas bases satisfazem as condições de ortogonalidade e normalização com respeito ao produto interno pelo traço, formando assim duas bases ortonormais para .

Exercícios relacionados