Ache duas bases ortonormais para
com respeito ao produto interno
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar duas bases ortonormais para o conjunto das matrizes
reais, denotado por
. Vamos usar o produto interno pelo traço, que é definido por
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, bases e produto interno. Vamos precisar construir matrizes que sejam ortogonais (produtos internos iguais a zero) e normalizadas (produto interno consigo mesmas igual a um).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. É um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) que são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1. A norma de uma matriz
é dada por
. Queremos que, para qualquer duas matrizes diferentes
e
da base,
e que
.
Passo 3
Vamos começar construindo uma base simples para
. Pense em quatro matrizes que têm apenas um elemento igual a 1 e os demais igual a 0. Essas matrizes são:
Passo 4
Agora, vamos verificar se essas matrizes já são ortonormais com respeito ao produto interno pelo traço.
-
Normalização:
- Para
: - O mesmo vale para
, e :
- Para
-
Ortogonalidade:
- Para
diferente de : Isso ocorre porque as matrizes têm 1 em posições diferentes, então o produto resultará em matrizes com todos os elementos iguais a 0, cujo traço é 0.
- Para
Portanto, as matrizes
formam uma base ortonormal.
Passo 5
Agora, vamos construir uma segunda base ortonormal. Podemos criar combinações lineares das matrizes
de forma que também satisfaçam as condições de ortogonalidade e normalização. Uma maneira comum de fazer isso é usando matrizes simétricas e antissimétricas. Por exemplo:
-
Matrizes Simétricas:
-
Matrizes Antissimétricas:
Vamos verificar rapidamente a ortogonalidade e normalização dessas matrizes usando o produto interno pelo traço.
Resposta
Duas bases ortonormais para
com respeito ao produto interno pelo traço são:
Base 1:
Base 2:
Essas bases satisfazem as condições de ortogonalidade e normalização com respeito ao produto interno pelo traço, formando assim duas bases ortonormais para
.