Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico da matriz . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente relacionado a autovalores e polinômios característicos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é uma variável e é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o polinômio característico. Ele é definido como o determinante da matriz . Isso nos ajuda a encontrar os autovalores da matriz , que são os valores de que satisfazem a equação .
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 4 é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Então, fica:
Subtraindo isso da matriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de . Observando a matriz resultante, percebemos que ela é uma matriz bloco diagonal, ou seja, ela pode ser dividida em blocos menores que não interagem entre si:
Onde:
Para matrizes em bloco diagonal, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos. Ou seja:
Passo 5
Vamos calcular :
O determinante de uma matriz 2x2 é . Aplicando isso:
Expandindo :
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Usando a mesma regra do determinante:
Multiplicando :
Então:
Passo 7
Agora que temos e , multiplicamos esses dois resultados para obter o polinômio característico: