Calcule o polinômio característico de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico da matriz . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente relacionado a autovalores e polinômios característicos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é uma variável e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o polinômio característico. Ele é definido como o determinante da matriz . Isso nos ajuda a encontrar os autovalores da matriz , que são os valores de que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz identidade de ordem 4 é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Então, fica:
Subtraindo isso da matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de . Observando a matriz resultante, percebemos que ela é uma matriz bloco diagonal, ou seja, ela pode ser dividida em blocos menores que não interagem entre si:
Onde:
Para matrizes em bloco diagonal, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos. Ou seja:

Passo 5

Vamos calcular :
O determinante de uma matriz 2x2 é . Aplicando isso:
Expandindo :
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Usando a mesma regra do determinante:
Multiplicando :
Então:

Passo 7

Agora que temos e , multiplicamos esses dois resultados para obter o polinômio característico:
Vamos expandir essa multiplicação:
Agora, somamos os termos semelhantes:

Resposta

Então, o polinômio característico da matriz é:

Exercícios relacionados

Calcule, usando o , uma base ortogonal para o que contenha os vetores e .
Ache duas bases ortonormais para com respeito ao produto interno .
Obtenha a inversa da matriz:
A soma de todos os elementos da inversa é igual a:

Escolha uma opção:

a. b. A não possui inversac. d. -14e. -17
Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais