Calcule o polinômio característico de
A=(cccc 2 & 1 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 & 4 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o polinômio característico da matriz . O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente relacionado a autovalores e polinômios característicos. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz , onde é uma variável e é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o polinômio característico. Ele é definido como o determinante da matriz . Isso nos ajuda a encontrar os autovalores da matriz , que são os valores de que satisfazem a equação .

Passo 3

Vamos montar a matriz I = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . A matriz identidade lambda I = lambda & 0 & 0 & 0 0 & lambda & 0 & 0 0 & 0 & lambda & 0 0 & 0 & 0 & lambda de ordem 4 é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 & 0 -1 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 2 0 & 0 & 3 & 4 - lambda
Então, fica:
Subtraindo isso da matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de 2 - lambda & 1 & 0 & 0 -1 & 2 - lambda & 0 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 2 0 & 0 & 3 & 4 - lambda = B & 0 0 & C . Observando a matriz resultante, percebemos que ela é uma matriz bloco diagonal, ou seja, ela pode ser dividida em blocos menores que não interagem entre si:
B = 2 - lambda & 1 -1 & 2 - lambda , C = 1 - lambda & 2 3 & 4 - lambda
Onde:
det(A - lambda I) = det(B) times det(C)
Para matrizes em bloco diagonal, o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos. Ou seja:

Passo 5

Vamos calcular B = 2 - lambda & 1 -1 & 2 - lambda :
a & b c & d
O determinante de uma matriz 2x2 det(B) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(1) = (2 - lambda)^2 + 1 é (2 - lambda)^2 = 4 - 4lambda + lambda^2 . Aplicando isso:
det(B) = 4 - 4lambda + lambda^2 + 1 = lambda^2 - 4lambda + 5
Expandindo :
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular C = 1 - lambda & 2 3 & 4 - lambda :
det(C) = (1 - lambda)(4 - lambda) - (3)(2) = (1 - lambda)(4 - lambda) - 6
Usando a mesma regra do determinante:
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Multiplicando det(C) = lambda^2 - 5lambda + 4 - 6 = lambda^2 - 5lambda - 2 :
Então:

Passo 7

Agora que temos det(A - lambda I) = (lambda^2 - 4lambda + 5)(lambda^2 - 5lambda - 2) e (lambda^2 - 4lambda + 5)(lambda^2 - 5lambda - 2) = lambda^4 - 5lambda^3 - 2lambda^2 - 4lambda^3 + 20lambda^2 + 8lambda + 5lambda^2 - 25lambda - 10 , multiplicamos esses dois resultados para obter o polinômio característico:
lambda^4 - 9lambda^3 + 23lambda^2 - 17lambda - 10
Vamos expandir essa multiplicação:
Agora, somamos os termos semelhantes:

Resposta

Então, o polinômio característico da matriz p(lambda) = lambda^4 - 9lambda^3 + 23lambda^2 - 17lambda - 10 é:

Exercícios relacionados