Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial definido por:
O conteúdo que vamos usar aqui é de espaços vetoriais e bases. Precisamos encontrar um conjunto de vetores que geram todo o espaço e que são linearmente independentes, ou seja, uma base para .
Passo 2
Vamos expressar um vetor genérico de em termos das variáveis e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor nulo:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Da equação , temos . Da equação , temos . Portanto, os únicos valores que satisfazem o sistema são e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como encontramos dois vetores que geram e são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para .