Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
V=(a, 0,2 b,-a, 0) in R^5: a, b in R

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = , (a, 0, 2b, -a, 0) in R^5 ;|; a, b in R , definido por:
O conteúdo que vamos usar aqui é de espaços vetoriais e bases. Precisamos encontrar um conjunto de vetores que geram todo o espaço e que são linearmente independentes, ou seja, uma base para .

Passo 2

Vamos expressar um vetor genérico de (a, 0, 2b, -a, 0) = a cdot (1, 0, 0, -1, 0) + b cdot (0, 0, 2, 0, 0) em termos das variáveis e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Suponha que exista uma combinação linear que resulta no vetor nulo:
c1 cdot (1, 0, 0, -1, 0) + c2 cdot (0, 0, 2, 0, 0) = (0, 0, 0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
c1 = 0 0 = 0 2c2 = 0 -c1 = 0 0 = 0
Da equação , temos . Da equação , temos . Portanto, os únicos valores que satisfazem o sistema são e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como encontramos dois vetores que geram e são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para .

Resposta

Uma base para , (1, 0, 0, -1, 0), (0, 0, 2, 0, 0) , é:

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