Calcule, usando o , uma base ortogonal para o que contenha os vetores e .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. Precisamos encontrar uma base ortogonal para o espaço das matrizes com números reais, denotado por , usando o produto interno de traço, que contenha os vetores (matrizes) e . Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como usar o processo de Gram-Schmidt aplicado a matrizes com o produto interno de traço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno de traço. Para duas matrizes e em , o produto interno é dado por:
Isso basicamente soma os produtos dos elementos correspondentes das duas matrizes.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base ortogonal que contenha as matrizes dadas, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt. Esse método pega um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) e constrói uma base ortogonal a partir deles.
Primeiro, definimos e como nossas primeiras duas matrizes da base:
Em seguida, precisamos encontrar duas matrizes adicionais, e , que sejam ortogonais a e e entre si. Vamos escolher matrizes onde alguns elementos são zero para simplificar os cálculos.
Passo 4
Vamos propor duas matrizes adicionais:
Agora, verificamos se essas matrizes são ortogonais entre si usando o produto interno de traço:
Como , precisamos ajustar para que seja ortogonal a .
Passo 5
Vamos ajustar para que seja ortogonal a . Utilizamos a fórmula de Gram-Schmidt:
Calculando:
Então:
Podemos simplificar:
Agora, é ortogonal a . Repetimos o processo para se necessário.
Resposta
Uma base ortogonal para com respeito ao produto interno de traço que contém as matrizes dadas é: