Calcule, usando o lang<=, rang<=t r, uma base ortogonal para o R^2 times 2 que contenha os vetores (ll2 & 1 0 & 1) e (cc-1 & 1 0 & 1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear. Precisamos encontrar uma base ortogonal para o espaço das matrizes 2 times 2 com números reais, denotado por R^2 times 2, usando o produto interno de traço, que contenha os vetores (matrizes) 2 & 1 0 & 1 e -1 & 1 0 & 1. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como usar o processo de Gram-Schmidt aplicado a matrizes com o produto interno de traço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno de traço. Para duas matrizes A e B em R^2 times 2, o produto interno é dado por:
lang<= A, B rang<=tr = tr(A^T B) = a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22
Isso basicamente soma os produtos dos elementos correspondentes das duas matrizes.

Passo 3

Agora, para encontrar uma base ortogonal que contenha as matrizes dadas, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt. Esse método pega um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) e constrói uma base ortogonal a partir deles.
Primeiro, definimos A e B como nossas primeiras duas matrizes da base:
A = 2 & 1 0 & 1, B = -1 & 1 0 & 1
Em seguida, precisamos encontrar duas matrizes adicionais, C e D, que sejam ortogonais a A e B e entre si. Vamos escolher matrizes onde alguns elementos são zero para simplificar os cálculos.

Passo 4

Vamos propor duas matrizes adicionais:
C = 1 & 0 0 & -1, D = 0 & 1 1 & 0
Agora, verificamos se essas matrizes são ortogonais entre si usando o produto interno de traço:
  1. lang<= A, B rang<=tr = (2)(-1) + (1)(1) + (0)(0) + (1)(1) = -2 + 1 + 0 + 1 = 0
  2. lang<= A, C rang<=tr = (2)(1) + (1)(0) + (0)(0) + (1)(-1) = 2 + 0 + 0 -1 = 1 neq 0
Como lang<= A, C rang<=tr neq 0, precisamos ajustar C para que seja ortogonal a A.

Passo 5

Vamos ajustar C para que seja ortogonal a A. Utilizamos a fórmula de Gram-Schmidt:
C' = C - lang<= C, A rang<=trlang<= A, A rang<=tr A
Calculando:
lang<= C, A rang<=tr = (1)(2) + (0)(1) + (0)(0) + (-1)(1) = 2 + 0 + 0 -1 = 1
lang<= A, A rang<=tr = (2)^2 + (1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 0 + 1 = 6
Então:
C' = C - 16 A = 1 & 0 0 & -1 - 162 & 1 0 & 1 = 1 - 26 & 0 - 16 0 - 0 & -1 - 16 = 46 & -16 0 & -76
Podemos simplificar:
C' = 23 & -16 0 & -76
Agora, C' é ortogonal a A. Repetimos o processo para D se necessário.

Resposta

Uma base ortogonal para R^2 times 2 com respeito ao produto interno de traço que contém as matrizes dadas é:
2 & 1 0 & 1, -1 & 1 0 & 1, 23 & -16 0 & -76, 0 & 1 1 & 0

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