Calcule, usando o
, uma base ortogonal para o
que contenha os vetores
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear. Precisamos encontrar uma base ortogonal para o espaço das matrizes
com números reais, denotado por
, usando o produto interno de traço, que contenha os vetores (matrizes)
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma base ortogonal e como usar o processo de Gram-Schmidt aplicado a matrizes com o produto interno de traço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto interno de traço. Para duas matrizes
e
em
, o produto interno é dado por:
Isso basicamente soma os produtos dos elementos correspondentes das duas matrizes.
Passo 3
Agora, para encontrar uma base ortogonal que contenha as matrizes dadas, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt. Esse método pega um conjunto de vetores (neste caso, matrizes) e constrói uma base ortogonal a partir deles.
Primeiro, definimos
e
como nossas primeiras duas matrizes da base:
Em seguida, precisamos encontrar duas matrizes adicionais,
e
, que sejam ortogonais a
e
e entre si. Vamos escolher matrizes onde alguns elementos são zero para simplificar os cálculos.
Passo 4
Vamos propor duas matrizes adicionais:
Agora, verificamos se essas matrizes são ortogonais entre si usando o produto interno de traço:
Como
, precisamos ajustar
para que seja ortogonal a
.
Passo 5
Vamos ajustar
para que seja ortogonal a
. Utilizamos a fórmula de Gram-Schmidt:
Calculando:
Então:
Podemos simplificar:
Agora,
é ortogonal a
. Repetimos o processo para
se necessário.
Resposta
Uma base ortogonal para
com respeito ao produto interno de traço que contém as matrizes dadas é: