Calcule uma base ortonormal para o subespaço E=t(-1,1,1,-2) ; t in R do R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma base ortonormal pro subespaço , que é formado pelos vetores do tipo no . Isso tá ligado a conceitos de vetores ortonormais e normalização.

Passo 2

Primeiro, nota que é um subespaço de dimensão 1 porque é gerado por um único vetor . Então, nossa base ortonormal vai ter só esse vetor, mas ajustado pra ser unitário.

Passo 3

Para deixar o vetor ortonormal, a gente precisa normalizá-lo. Isso significa dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento (ou norma), assim o vetor passa a ter comprimento 1.

Passo 4

Vamos calcular a norma do vetor |v| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 1 + 4 = raiz7 :
Então, a norma de é .

Passo 5

Agora, normalizamos o vetor dividindo cada componente pela norma u = ( -1raiz7, 1raiz7, 1raiz7, -2raiz7 ) :

Resposta

A base ortonormal para o subespaço é .

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