Ache d/y d/x e d²y/dx² sem eliminar o parâmetro.
x = e^(2t), y = 1 + cos(t)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo envolvendo derivadas paramétricas. O enunciado nos dá duas equações que descrevem e em termos de um parâmetro :
Nosso objetivo é encontrar as primeiras e segundas derivadas de em relação a , ou seja, e , sem eliminar o parâmetro . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas paramétricas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Quando temos e expressos em termos de , a derivada de em relação a pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Isso significa que precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora que temos e , substituímos na fórmula da derivada:

Passo 5

Para encontrar a segunda derivada , precisamos derivar em relação a e depois dividir por :
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Agora, dividimos por :

Resposta

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