Ache
e
sem eliminar o parâmetro.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo envolvendo derivadas paramétricas. O enunciado nos dá duas equações que descrevem
e
em termos de um parâmetro
:
Nosso objetivo é encontrar as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
, ou seja,
e
, sem eliminar o parâmetro
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas paramétricas e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Quando temos
e
expressos em termos de
, a derivada de
em relação a
pode ser encontrada usando a seguinte fórmula:
Isso significa que precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Agora que temos
e
, substituímos na fórmula da derivada:
Passo 5
Para encontrar a segunda derivada
, precisamos derivar
em relação a
e depois dividir por
:
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Agora, dividimos por
:
Resposta
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Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
.
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Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.