Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aí é uma série infinita do tipo
. O objetivo é usar o Teste da Comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender como comparar os termos dessa série com outra que a gente já conhece o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Olha só, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior potência é
. Então, pra facilitar a comparação, podemos dividir todos os termos por
:
Passo 3
Agora, vamos observar o comportamento dessa fração quando
fica muito grande. Quando
, os termos
e
tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Passo 4
Isso quer dizer que, para valores grandes de
, os termos da nossa série são aproximadamente iguais a
. Agora, vamos comparar isso com a série
. Essa última é uma série geométrica simples onde cada termo é constante.
Passo 5
Sabemos que a série
é uma série divergente, porque a soma de infinitos termos iguais a um número positivo não tem limite finito. Como nossos termos da série original são comparáveis a uma série que diverge, pelo Teste da Comparação, a série original também deve divergir.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação.
Exercícios relacionados
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Encontre uma função
positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q.
seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série:
Ache
e
sem eliminar o parâmetro.
Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.