Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: sum k^2-33 k^2+4 k.

Passo 1

Então, o que a gente tem aí é uma série infinita do tipo sum k^2-33 k^2+4 k. O objetivo é usar o Teste da Comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender como comparar os termos dessa série com outra que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Olha só, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior potência é k^2. Então, pra facilitar a comparação, podemos dividir todos os termos por k^2:
k^2-33 k^2+4 k = 1 - 3k^23 + 4k

Passo 3

Agora, vamos observar o comportamento dessa fração quando k fica muito grande. Quando k to infty, os termos 3k^2 e 4k tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
13

Passo 4

Isso quer dizer que, para valores grandes de k, os termos da nossa série são aproximadamente iguais a 13. Agora, vamos comparar isso com a série sum 13. Essa última é uma série geométrica simples onde cada termo é constante.

Passo 5

Sabemos que a série sum 13 é uma série divergente, porque a soma de infinitos termos iguais a um número positivo não tem limite finito. Como nossos termos da série original são comparáveis a uma série que diverge, pelo Teste da Comparação, a série original também deve divergir.

Resposta

A série sum k^2-33 k^2+4 k diverge pelo Teste da Comparação.

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