Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: .

Passo 1

Então, o que a gente tem aí é uma série infinita do tipo . O objetivo é usar o Teste da Comparação para descobrir se essa série converge ou diverge. Pra isso, vamos precisar entender como comparar os termos dessa série com outra que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Olha só, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior potência é . Então, pra facilitar a comparação, podemos dividir todos os termos por :

Passo 3

Agora, vamos observar o comportamento dessa fração quando fica muito grande. Quando , os termos e tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:

Passo 4

Isso quer dizer que, para valores grandes de , os termos da nossa série são aproximadamente iguais a . Agora, vamos comparar isso com a série . Essa última é uma série geométrica simples onde cada termo é constante.

Passo 5

Sabemos que a série é uma série divergente, porque a soma de infinitos termos iguais a um número positivo não tem limite finito. Como nossos termos da série original são comparáveis a uma série que diverge, pelo Teste da Comparação, a série original também deve divergir.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Comparação.

Exercícios relacionados

Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Encontre uma função positiva, decrescente (justifique este fato) e contínua t.q. seja igual ao termo geral da série correspondente. Finalmente, utilize o Teste da Integral para justificar a convergência ou divergência de cada uma das séries. Série:
Ache e sem eliminar o parâmetro.
Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.