Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries: sum ln kk

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Comparação para ver se a série sum ln kk converge ou diverge. O Teste da Comparação é uma ferramenta que nos ajuda a comparar uma série complicada com outra que já sabemos como ela se comporta. Aqui, vamos precisar conhecer a série harmônica, que é sum 1k, e que a gente sabe que diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se conseguimos relacionar os termos da nossa série com os da série harmônica. Olha só:
ln kk >= 1k para todo k >= e
Isso porque o logaritmo natural, ln k, é maior ou igual a 1 quando k >= e (onde e approx 2,718).

Passo 3

Agora, como ln kk >= 1k e sabemos que a série harmônica sum 1k diverge, o Teste da Comparação nos diz que nossa série original sum ln kk também diverge. Basicamente, se a nossa série é maior ou igual a uma série que diverge, a nossa também não consegue se comportar melhor.

Resposta

A série sum ln kk diverge.

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