Ache dy/dx e d²y/dx² sem eliminar o parâmetro. x = e^(2 t), y = 1 + cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a sem eliminar o parâmetro. As funções que temos são e . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente em Derivadas Paramétricas. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar em relação a através do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia que diz que:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 4

Para achar a segunda derivada, , precisamos derivar em relação a e, em seguida, dividir pelo . A fórmula fica:
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Agora, dividimos pelo :

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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