Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para encontrar as retas tangentes, tanto horizontal quanto vertical, ao gráfico definido pelas equações paramétricas e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso. Precisaremos calcular as derivadas de e em relação a para encontrar as retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . As derivadas nos ajudam a determinar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente horizontal, precisamos que a inclinação da tangente seja zero. Isso significa que . Como , precisamos que .

Passo 4

Agora que encontramos , vamos encontrar as coordenadas e correspondentes substituindo nas equações paramétricas.
Então, a reta tangente horizontal passa pelo ponto .

Passo 5

Para encontrar a reta tangente vertical, a inclinação da tangente deve ser indefinida, o que ocorre quando e .

Passo 6

Substituindo nas equações paramétricas para achar e :
Portanto, a reta tangente vertical passa pelo ponto .

Resposta

As retas tangentes são:
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

Exercícios relacionados

Ache a equação cartesiana do gráfico.
Ache sem eliminar o parâmetro.
Ache e .
Ache o limite indicado, se ele existir.