Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Passo 1
Beleza! O enunciado pede para encontrar as retas tangentes, tanto horizontal quanto vertical, ao gráfico definido pelas equações paramétricas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para resolver isso. Precisaremos calcular as derivadas de
e
em relação a
para encontrar as retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. As derivadas nos ajudam a determinar a inclinação da tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente horizontal, precisamos que a inclinação da tangente seja zero. Isso significa que
. Como
, precisamos que
.
Passo 4
Agora que encontramos
, vamos encontrar as coordenadas
e
correspondentes substituindo
nas equações paramétricas.
Então, a reta tangente horizontal passa pelo ponto
.
Passo 5
Para encontrar a reta tangente vertical, a inclinação da tangente deve ser indefinida, o que ocorre quando
e
.
Passo 6
Substituindo
nas equações paramétricas para achar
e
:
Portanto, a reta tangente vertical passa pelo ponto
.
Resposta
As retas tangentes são:
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical:
Exercícios relacionados
Ache a equação cartesiana do gráfico.
Ache
sem eliminar o parâmetro.
Ache
e
.
Ache o limite indicado, se ele existir.