( 1,5 ponto) Calcule o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta de dado.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o polinômio de Taylor de ordem 2 da função em torno de . Isso significa que vamos aproximar a função seno usando um polinômio quadrático centrado nesse ponto. Para isso, vamos precisar da definição do polinômio de Taylor e das derivadas da função até a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 2 para uma função em torno de :
Então, precisamos calcular , e .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, a primeira derivada :
Então,

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada :
Então,

Passo 6

Agora que temos todos os valores necessários, substituímos na fórmula do polinômio de Taylor:

Resposta

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