(1,0 ponto) Estude a função
em relação a crescimento, decrescimento, pontos de inflexão e concavidade.
Passo 1
Vamos estudar a função
analisando onde ela está crescendo ou decrescendo, além de verificar sua concavidade e identificar pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, ou seja, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos os sinais da primeira derivada
.
Resolvendo
:
Esses pontos (
e
) são críticos e dividem a reta real em intervalos que vamos testar.
Passo 4
Vamos escolher valores de
em cada intervalo para determinar o sinal de
:
-
Intervalo
:
Se: -
Intervalo
:
Se: -
Intervalo
:
Se:
Passo 5
Com base nisso, concluímos que a função
está:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
.
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função e identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada de
.
Calculando a segunda derivada:
Passo 7
Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos
:
Esse ponto divide a reta real em dois intervalos para verificar a concavidade.
Passo 8
Escolhendo valores de
em cada intervalo para determinar a concavidade:
-
Intervalo
:
Se: -
Intervalo
:
Se:
Passo 9
Como a concavidade muda em
, este é um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
. - Possui concavidade para baixo em
e concavidade para cima em . - Tem um ponto de inflexão em
.
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e classifique-os como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexāo.
A equação
onde c é uma constante positiva, é chamada de equação de onda. Sejam
e
funções duas vezes diferenciáveis de uma variável.
© Confirme que satifaz a equação de onda com
, e então use identidades trigonométiricas apropriadas para expressar essa função na forma
.
© Confirme que
( 1,5 ponto) Calcule o polinômio de Taylor de ordem 2 da função dada, em volta de
dado.
(b)
(b)
Ache
sem eliminar o parâmetro.