(1,0 ponto) Estude a função em relação a crescimento, decrescimento, pontos de inflexão e concavidade.

Passo 1

Vamos estudar a função analisando onde ela está crescendo ou decrescendo, além de verificar sua concavidade e identificar pontos de inflexão. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, ou seja, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajuda a determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos os sinais da primeira derivada .
Resolvendo :
Esses pontos ( e ) são críticos e dividem a reta real em intervalos que vamos testar.

Passo 4

Vamos escolher valores de em cada intervalo para determinar o sinal de :
  1. Intervalo :
    Se :
  2. Intervalo :
    Se :
  3. Intervalo :
    Se :

Passo 5

Com base nisso, concluímos que a função está:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função e identificar possíveis pontos de inflexão. Para isso, precisamos da segunda derivada de .
Calculando a segunda derivada:

Passo 7

Para encontrar os pontos de inflexão, resolvemos :
Esse ponto divide a reta real em dois intervalos para verificar a concavidade.

Passo 8

Escolhendo valores de em cada intervalo para determinar a concavidade:
  1. Intervalo :
    Se :
  2. Intervalo :
    Se :

Passo 9

Como a concavidade muda em , este é um ponto de inflexão.

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .
  • Possui concavidade para baixo em e concavidade para cima em .
  • Tem um ponto de inflexão em .

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