Ache uma elipse com centro em (0,0), excentricidade / 5 / e tal que a distância entre um de seus focos e a reta diretriz correspondente seja igual a 18.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Precisamos encontrar a equação de uma elipse com centro na origem (0,0), excentricidade e = 15, e onde a distância entre um dos focos e a diretriz correspondente é igual a 18. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses, especificamente as relações entre excentricidade, semi-eixo maior ( a), semi-eixo menor ( b) e a distância dos focos ( c).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade ( e) de uma elipse está relacionada à distância dos focos ( c) e ao semi-eixo maior ( a) pela fórmula:
e = ca
Dado que e = 15, podemos expressar c em termos de a:
c = e cdot a = 15a

Passo 3

A diretriz de uma elipse está relacionada ao semi-eixo maior e à excentricidade pela fórmula:
Diretriz = ae
Substituindo e = 15:
Diretriz = a15 = 5a

Passo 4

A distância entre um foco e a diretriz correspondente é dada por:
Distância = |Foco - Diretriz| â
Sabemos que a distância é 18, então:
|c - 5a| = 18
Substituindo c = 15a:
|15a - 5a| = 18
|-245a| = 18
245a = 18

Passo 5

Resolvendo para a:
a = 18 cdot 524
a = 9024
a = 154
Então, o semi-eixo maior a é 154.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a distância dos focos c usando c = 15a:
c = 15 cdot 154
c = 1520
c = 34

Passo 7

Para encontrar o semi-eixo menor b, usamos a relação:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo os valores de a e c:
b^2 = (154)^2 - (34)^2
b^2 = 22516 - 916
b^2 = 21616
b^2 = 272
b = raiz272
b = 3raiz62

Passo 8

Finalmente, podemos escrever a equação da elipse na forma padrão:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a^2 = (154)^2 = 22516 e b^2 = 272:
x^222516 + y^2272 = 1
Simplificando as frações:
16x^2225 + 2y^227 = 1

Resposta

A equação da elipse procurada é:
16x^2225 + 2y^227 = 1

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