Ache uma elipse com centro em , excentricidade tal que a distância entre um de seus focos e a reta diretriz correspondente seja igual a 18.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Precisamos encontrar a equação de uma elipse com centro na origem , excentricidade , e onde a distância entre um dos focos e a diretriz correspondente é igual a 18. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre elipses, especificamente as relações entre excentricidade, semi-eixo maior (), semi-eixo menor () e a distância dos focos ().
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a excentricidade () de uma elipse está relacionada à distância dos focos () e ao semi-eixo maior () pela fórmula:
Dado que , podemos expressar em termos de :
Passo 3
A diretriz de uma elipse está relacionada ao semi-eixo maior e à excentricidade pela fórmula:
Substituindo :
Passo 4
A distância entre um foco e a diretriz correspondente é dada por:
Sabemos que a distância é 18, então:
Substituindo :
|-245a| = 18
245a = 18
Passo 5
Resolvendo para a:
a = 18 cdot 524
a = 9024
a = 154
Então, o semi-eixo maior a é 154.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a distância dos focos c usando c = 15a:
c = 15 cdot 154
c = 1520
c = 34
Passo 7
Para encontrar o semi-eixo menor b, usamos a relação:
b^2 = a^2 - c^2
Substituindo os valores de a e c:
b^2 = (154)^2 - (34)^2
b^2 = 22516 - 916
b^2 = 21616
b^2 = 272
b = raiz272
b = 3raiz62
Passo 8
Finalmente, podemos escrever a equação da elipse na forma padrão: