Determine uma equação quadrática em
e y que representa a parábola com foco no ponto
e reta diretriz
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma equação quadrática em
e
que representa uma parábola. A parábola que a gente quer tem o foco no ponto
e uma reta diretriz na equação
. Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola, que é o conjunto de pontos que ficam à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer
até o foco
. Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Essa é a distância do ponto
até o foco.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até a reta diretriz
. Como a diretriz é uma linha horizontal, a distância é simplesmente a diferença vertical entre o ponto e a reta:
Como estamos trabalhando com distâncias, a gente pode tirar o valor absoluto e igualar as duas expressões:
Passo 4
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a equação. Subtraímos
de ambos os lados:
Resposta
A equação quadrática que representa a parábola é: