Determine uma equação quadrática em x e y que representa a parábola com foco no ponto F=(0,2) e reta diretriz y=-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma equação quadrática em e que representa uma parábola. A parábola que a gente quer tem o foco no ponto e uma reta diretriz na equação . Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola, que é o conjunto de pontos que ficam à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer raiz(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = raizx^2 + (y - 2)^2 até o foco . Usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Essa é a distância do ponto até o foco.

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto |y - (-2)| = |y + 2| até a reta diretriz raizx^2 + (y - 2)^2 = y + 2 . Como a diretriz é uma linha horizontal, a distância é simplesmente a diferença vertical entre o ponto e a reta:
Como estamos trabalhando com distâncias, a gente pode tirar o valor absoluto e igualar as duas expressões:

Passo 4

Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2

Passo 5

Vamos expandir os termos:
x^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 + 4y + 4

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação. Subtraímos x^2 - 8y = 0 de ambos os lados:

Resposta

A equação quadrática que representa a parábola é:
x^2 = 8y

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