Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma m x+n y+k=0.
3 x^2-8 x y-12 y^2+81=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica e precisa descobrir qual é essa cônica. Depois, queremos colocar essa equação de uma forma mais simples no último sistema de coordenadas usado, desenhar o gráfico dela, marcar os focos e, se for uma hipérbole, encontrar as equações das retas assíntotas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre cônicas, mudança de coordenadas e completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. A equação que temos é:
3x^2 -8xy -12y^2 +81=0
Como a equação tem termos de , e , isso sugere que pode ser uma elipse, hipérbole ou parábola rotacionada. Vamos descobrir qual delas é.

Passo 3

Para identificar a cônica, a gente calcula o discriminante B^2 - 4AC = (-8)^2 - 4 times 3 times (-12) = 64 + 144 = 208 , onde , e . Então:
Como o discriminante é positivo, sabemos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação da hipérbole. Temos um termo tan(2theta) = BA - C = -83 - (-12) = -815 que indica que o eixo da hipérbole está rotacionado. Para eliminar esse termo, precisamos realizar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação 2theta = arctan(-815) Rightarrow theta = 12 arctan(-815) é:
Então,
Calculando , removemos o termo na nova coordenada.

Passo 5

Após a rotação, a equação da hipérbole fica na forma padrão:
X^2a^2 - Y^2b^2 = 1
Vamos determinar , e deslocamentos necessários para desenhar o gráfico e encontrar os focos.

Passo 6

Com e determinados, os focos da hipérbole estão localizados a uma distância do centro, onde . Assim, as coordenadas dos focos serão no sistema de coordenadas simplificado.

Passo 7

Como é uma hipérbole, precisamos encontrar as equações das retas assíntotas. Elas têm a forma:
y = pm bax
Depois de rotacionar de volta para o sistema original, adaptamos essas equações para a forma .

Resposta

A cônica é uma hipérbole. A equação simplificada no último sistema de coordenadas é . Os focos estão localizados nas coordenadas . As equações das retas assíntotas são e .

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