Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma equação que representa uma cônica e precisa descobrir qual é essa cônica. Depois, queremos colocar essa equação de uma forma mais simples no último sistema de coordenadas usado, desenhar o gráfico dela, marcar os focos e, se for uma hipérbole, encontrar as equações das retas assíntotas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre cônicas, mudança de coordenadas e completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. A equação que temos é:
Como a equação tem termos de
,
e
, isso sugere que pode ser uma elipse, hipérbole ou parábola rotacionada. Vamos descobrir qual delas é.
Passo 3
Para identificar a cônica, a gente calcula o discriminante
, onde
,
e
. Então:
Como o discriminante é positivo, sabemos que a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação da hipérbole. Temos um termo
que indica que o eixo da hipérbole está rotacionado. Para eliminar esse termo, precisamos realizar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
é:
Então,
Calculando
, removemos o termo
na nova coordenada.
Passo 5
Após a rotação, a equação da hipérbole fica na forma padrão:
Vamos determinar
,
e deslocamentos necessários para desenhar o gráfico e encontrar os focos.
Passo 6
Com
e
determinados, os focos da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro, onde
. Assim, as coordenadas dos focos serão
no sistema de coordenadas simplificado.
Passo 7
Como é uma hipérbole, precisamos encontrar as equações das retas assíntotas. Elas têm a forma:
Depois de rotacionar de volta para o sistema original, adaptamos essas equações para a forma
.
Resposta
A cônica é uma hipérbole. A equação simplificada no último sistema de coordenadas é
. Os focos estão localizados nas coordenadas
. As equações das retas assíntotas são
e
.