Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma m x+n y+k=0.
4 x^2-20 x y+25 y^2-15 x-6 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de segundo grau que representa uma cônica. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa, ajustar a equação para o sistema de coordenadas adequado, fazer um esboço do gráfico incluindo os focos, e se for uma hipérbole, encontrar as retas assíntotas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra analítica, como o discriminante das cônicas e a rotação de eixos para eliminar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. A equação dada é:
4x^2 - 20xy + 25y^2 - 15x - 6y = 0
Para identificar a cônica, calculamos o discriminante De usando a fórmula:
De
Aqui, , e . Então:
Como , sabemos que a cônica é uma parábola.

Passo 3

Agora, vamos eliminar o termo tan(2theta) = BA - C = -204 - 25 = -20-21 approx 0,952 para simplificar a equação. Para isso, usamos a rotação de eixos. O ângulo 2theta = arctan(0,952) approx 43° de rotação é dado por:
theta approx 21,5°
Calculando :
Com esse ângulo, a nova equação na coordenada rotacionada não terá o termo .

Passo 4

Após a rotação, a equação da parábola fica na forma padrão:
y'^2 = 4p x'
Precisamos encontrar , que representa a distância do vértice ao foco. Para isso, ajustamos a equação rotacionada e identificamos .

Passo 5

Finalmente, plotamos o gráfico da parábola no sistema de coordenadas rotacionado, identificando o foco e desenhando a parábola. Como é uma parábola, não precisamos calcular retas assíntotas.

Resposta

A cônica é uma parábola. Após rotação dos eixos, a equação da parábola no sistema de coordenadas rotacionado é , com o foco localizado a uma distância do vértice. O esboço do gráfico inclui a parábola e suas coordenadas focais.

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