Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação de segundo grau que representa uma cônica. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa, ajustar a equação para o sistema de coordenadas adequado, fazer um esboço do gráfico incluindo os focos, e se for uma hipérbole, encontrar as retas assíntotas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra analítica, como o discriminante das cônicas e a rotação de eixos para eliminar o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. A equação dada é:
Para identificar a cônica, calculamos o discriminante
usando a fórmula:
Aqui,
,
e
. Então:
Como
, sabemos que a cônica é uma parábola.
Passo 3
Agora, vamos eliminar o termo
para simplificar a equação. Para isso, usamos a rotação de eixos. O ângulo
de rotação é dado por:
Calculando
:
Com esse ângulo, a nova equação na coordenada rotacionada não terá o termo
.
Passo 4
Após a rotação, a equação da parábola fica na forma padrão:
Precisamos encontrar
, que representa a distância do vértice ao foco. Para isso, ajustamos a equação rotacionada e identificamos
.
Passo 5
Finalmente, plotamos o gráfico da parábola no sistema de coordenadas rotacionado, identificando o foco e desenhando a parábola. Como é uma parábola, não precisamos calcular retas assíntotas.
Resposta
A cônica é uma parábola. Após rotação dos eixos, a equação da parábola no sistema de coordenadas rotacionado é
, com o foco localizado a uma distância
do vértice. O esboço do gráfico inclui a parábola e suas coordenadas focais.