Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cônicas, que são os formatos geométricos como circunferências, elipses, parábolas e hipérboles. No caso, a gente tem a equação
. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa, achar a equação na forma padrão, esboçar o gráfico com os focos e, se for hipérbole, encontrar as retas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. Para isso, analisamos os coeficientes de
,
e o termo misto
. A presença do termo
indica que a cônica está girada em relação aos eixos coordenados, então precisamos eliminar esse termo para facilitar a identificação.
Passo 3
Para eliminar o termo
, vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação
é dada por:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então,
, e
.
Passo 4
Após encontrar
, aplicamos a mudança de coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo
, obtendo uma equação sem rotação.
Passo 5
Após a rotação, a equação resultante terá a forma:
Dependendo dos sinais de
e
, identificamos a cônica:
- Se ambos são positivos, é uma elipse.
- Se têm sinais opostos, é uma hipérbole.
- Se um deles for zero, é uma parábola.
Passo 6
Calculando, encontramos que
, e
. Ambos positivos, então é uma elipse.
Passo 7
Agora, escrevemos a equação na forma padrão da elipse:
Dividindo ambos os lados por 30:
Então,
e
.
Passo 8
Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula
. Porém, como
, na realidade, nossos eixos estão trocados, então usamos
.
Passo 9
Os focos na coordenada rotacionada são
. Para voltar às coordenadas originais, aplicamos a rotação inversa usando
encontrado anteriormente.
Resposta
A cônica é uma elipse com equação na forma rotacionada
. Os focos estão localizados em
na coordenada rotacionada. O esboço do gráfico apresenta uma elipse centrada na origem, alongada no eixo
. Como não é hipérbole, não há retas assíntotas.