Nos problemas a seguir, identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico, incluindo as coordenadas dos focos. Caso a cônica seja uma hipérbole, encontre as equações das retas assíntotas na forma m x+n y+k=0.
9 x^2-4 x y+6 y^2=30.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre cônicas, que são os formatos geométricos como circunferências, elipses, parábolas e hipérboles. No caso, a gente tem a equação 9x^2 - 4xy + 6y^2 = 30. Nosso objetivo é identificar qual cônica é essa, achar a equação na forma padrão, esboçar o gráfico com os focos e, se for hipérbole, encontrar as retas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual cônica estamos lidando. Para isso, analisamos os coeficientes de x^2, y^2 e o termo misto xy. A presença do termo xy indica que a cônica está girada em relação aos eixos coordenados, então precisamos eliminar esse termo para facilitar a identificação.

Passo 3

Para eliminar o termo xy, vamos usar uma rotação de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação theta é dada por:
tan(2theta) = BA - C
Aqui, A = 9, B = -4 e C = 6. Substituindo:
tan(2theta) = -49 - 6 = -43
Então, 2theta = arctan(-43), e theta = 12arctan(-43).

Passo 4

Após encontrar theta, aplicamos a mudança de coordenadas:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo essas expressões na equação original e simplificando, eliminamos o termo x'y', obtendo uma equação sem rotação.

Passo 5

Após a rotação, a equação resultante terá a forma:
A'x'^2 + C'y'^2 = 30
Dependendo dos sinais de A' e C', identificamos a cônica:
  • Se ambos são positivos, é uma elipse.
  • Se têm sinais opostos, é uma hipérbole.
  • Se um deles for zero, é uma parábola.

Passo 6

Calculando, encontramos que A' = 9 + 62 + raiz(9 - 6)^2 + (-4)^22 = 152 + raiz9 + 162 = 152 + 52 = 10, e C' = 9 + 62 - raiz(9 - 6)^2 + (-4)^22 = 152 - 52 = 5. Ambos positivos, então é uma elipse.

Passo 7

Agora, escrevemos a equação na forma padrão da elipse:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
Dividindo ambos os lados por 30:
x'^23 + y'^26 = 1
Então, a^2 = 3 e b^2 = 6.

Passo 8

Para encontrar os focos da elipse, usamos a fórmula c = raiza^2 - b^2. Porém, como a^2 < b^2, na realidade, nossos eixos estão trocados, então usamos c = raizb^2 - a^2 = raiz6 - 3 = raiz3.

Passo 9

Os focos na coordenada rotacionada são (0, pm c) = (0, pmraiz3). Para voltar às coordenadas originais, aplicamos a rotação inversa usando theta encontrado anteriormente.

Resposta

A cônica é uma elipse com equação na forma rotacionada x'^23 + y'^26 = 1. Os focos estão localizados em (0, pmraiz3) na coordenada rotacionada. O esboço do gráfico apresenta uma elipse centrada na origem, alongada no eixo y. Como não é hipérbole, não há retas assíntotas.

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