Ache uma equação de cada reta tangente à curva y = x^3 - 3x que é perpendicular à reta 2x + 18y - 9 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações das retas tangentes à curva que são perpendiculares à reta . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das tangentes e propriedades de retas perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta dada . Para isso, vamos colocar a equação na forma , onde é a inclinação.
Dividindo tudo por 18:
Então, a inclinação dessa reta é .

Passo 3

Como queremos retas perpendiculares a essa, sabemos que a inclinação das retas perpendiculares é o negativo do inverso da inclinação original.
Assim:
Portanto, as tangentes que buscamos têm inclinação 9.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação das tangentes em qualquer ponto da curva.
A derivada é:
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto .

Passo 5

Queremos que a inclinação da tangente seja 9. Então, igualamos a derivada a 9:
Resolvendo para :
Então, temos dois pontos onde a inclinação da tangente é 9: e .

Passo 6

Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo na função original.
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 7

Agora, vamos usar a forma da equação da reta tangente, que é:
Onde é o ponto de tangência e é a inclinação.
Para :
Para :

Resposta

As equações das retas tangentes são:

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