Ache uma equação de cada reta tangente à curva
que é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações das retas tangentes à curva
que são perpendiculares à reta
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das tangentes e propriedades de retas perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta dada
. Para isso, vamos colocar a equação na forma
, onde
é a inclinação.
Dividindo tudo por 18:
Então, a inclinação dessa reta é
.
Passo 3
Como queremos retas perpendiculares a essa, sabemos que a inclinação das retas perpendiculares é o negativo do inverso da inclinação original.
Assim:
Portanto, as tangentes que buscamos têm inclinação 9.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação das tangentes em qualquer ponto
da curva.
A derivada é:
Essa derivada nos dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
.
Passo 5
Queremos que a inclinação da tangente seja 9. Então, igualamos a derivada a 9:
Resolvendo para
:
Então, temos dois pontos onde a inclinação da tangente é 9:
e
.
Passo 6
Vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo
na função original.
Para
:
Então, o ponto é
.
Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 7
Agora, vamos usar a forma da equação da reta tangente, que é:
Onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação.
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Seja
a função dada por
. Verifique se
é contínua em
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados: