Seja
a função dada por
. Verifique se
é contínua em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
é contínua em todos os números reais. Isso está dentro do estudo de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto
muda a expressão dependendo se
é positivo ou negativo. Então, vamos dividir a função em duas partes:
-
Para
:
, então
-
Para
:
, então
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
, já que para outros valores de
, a função é um polinômio, que é contínuo por definição. Para isso, precisamos calcular os limites pela esquerda e pela direita de 2 e ver se são iguais ao valor da função em 2.
Valor da função em 2:
Passo 4
Limite pela esquerda (
):
Para ,
Então,
Para
Então,
Limite pela direita (
):
Para ,
Então,
Para
Então,
Passo 5
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em 2, isso significa que
é contínua em
. Como já vimos que para outros valores de
, a função é contínua, concluímos que
é contínua em todos os números reais.
Resposta
A função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Ache uma equação de cada reta tangente à curva
que é perpendicular à reta
.
Seja
dada por
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Determine a derivada
de cada função
dada a seguir, utilizando a definição de derivada: