Seja a função dada por . Verifique se é contínua em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função é contínua em todos os números reais. Isso está dentro do estudo de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade e como aplicar isso à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto muda a expressão dependendo se é positivo ou negativo. Então, vamos dividir a função em duas partes:
  • Para :
    , então
  • Para :
    , então

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em , já que para outros valores de , a função é um polinômio, que é contínuo por definição. Para isso, precisamos calcular os limites pela esquerda e pela direita de 2 e ver se são iguais ao valor da função em 2.
Valor da função em 2:

Passo 4

Limite pela esquerda ( ):
Para ,

Então,
Limite pela direita ( ):
Para ,

Então,

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em 2, isso significa que é contínua em . Como já vimos que para outros valores de , a função é contínua, concluímos que é contínua em todos os números reais.

Resposta

A função é contínua em .

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