Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar lembrar dessas regras e como aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observamos que é igual a , então podemos reescrever a função:

Passo 3

Simplificando os termos, temos:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivadas, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular . Usamos a regra do produto:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Também usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 8

Vamos simplificar o numerador:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes e simplificando:
Factorizando:
Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 9

Colocando tudo junto, temos:
Podemos simplificar dividindo cada termo pelo denominador:
Simplificando mais:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Encontrar as derivada laterais no ponto indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Seja dada por . Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Ache uma equação de cada reta tangente à curva que é perpendicular à reta .