Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada da função
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar lembrar dessas regras e como aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observamos que
é igual a
, então podemos reescrever a função:
Passo 3
Simplificando os termos, temos:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a regra do quociente para derivadas, que diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular
. Usamos a regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Também usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 8
Vamos simplificar o numerador:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes e simplificando:
Factorizando:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 9
Colocando tudo junto, temos:
Podemos simplificar dividindo cada termo pelo denominador:
Simplificando mais:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções abaixo, simplificando sempre que possível:
Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Seja
dada por
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Ache uma equação de cada reta tangente à curva
que é perpendicular à reta
.