Determine f'(x0), a derivada da função f em x_0, em cada item abaixo e nos pontos x_0 indicados: f(x) = raiz(x + 2), x0 = 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada da função no ponto . Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a derivada de funções básicas e aplicar essa regra no ponto específico dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Em termos matemáticos, a derivada de em é definida como:

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos encontrar a derivada geral dessa função antes de calcular no ponto específico.
Sabemos que a derivada de , onde é uma função de , é dada por:

Passo 4

Aplicando isso à nossa função , temos . A derivada de em relação a é:
Então, a derivada de é:

Passo 5

Agora que temos a expressão da derivada, podemos calcular . Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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