Ache uma equação cartesiana da esfera que passa pelo ponto P=(2,-1,1) e pela circunferência
r x^2+y^2+z^2-2 x+3 y-6 z-5=0 5 x+2 y-z-3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma esfera que passa pelo ponto x^2+y^2+z^2-2x+3y-6z-5=0 5x+2y-z-3=0 e também passa por uma circunferência definida pelo sistema de equações:
Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com esferas e circunferências no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e conhecimentos sobre equações de esferas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a circunferência dada é a interseção de uma esfera e um plano. A equação da esfera é:
x^2+y^2+z^2-2x+3y-6z-5=0
E a equação do plano é:
5x +2y - z -3=0
Queremos encontrar uma nova esfera que contenha essa circunferência e também passe pelo ponto .

Passo 3

Sabemos que todas as esferas que contêm a circunferência dada podem ser representadas como uma combinação linear da equação da esfera original e da equação do plano. Ou seja, a equação da nova esfera pode ser escrita como:
x^2 + y^2 + z^2 -2x +3y -6z -5 + lambda (5x +2y -z -3) =0
Aqui, é um número real que vamos determinar para garantir que a esfera passe pelo ponto .

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 -2(2) +3(-1) -6(1) -5 + lambda [5(2) +2(-1) -1 -3] =0 na equação da esfera para encontrar o valor de . Substituindo:
Vamos calcular cada parte passo a passo.

Passo 5

Calculando:
4 + 1 + 1 -4 -3 -6 -5 + lambda (10 -2 -1 -3) =0
Simplificando os números:
(4 +1 +1) =6; (-4 -3 -6 -5) = -18; (10 -2 -1 -3) =4
Então:
6 -18 + 4lambda =0
-12 +4lambda =0

Passo 6

Resolvendo para 4lambda =12 Rightarrow lambda =3 :

Passo 7

Agora que temos x^2+y^2+z^2-2x+3y-6z-5 +3(5x +2y -z -3)=0 , substituímos de volta na equação da nova esfera:
x^2+y^2+z^2-2x+3y-6z-5 +15x +6y -3z -9=0
Distribuindo o 3:

Passo 8

Vamos reunir os termos semelhantes:
x^2 + y^2 + z^2 + (-2x +15x) + (3y +6y) + (-6z -3z) + (-5 -9) =0
Simplificando:
x^2 + y^2 + z^2 +13x +9y -9z -14 =0

Passo 9

Para deixar a equação mais organizada, reescrevemos:
x^2 + y^2 + z^2 +13x +9y -9z =14

Resposta

A equação cartesiana da esfera procurada é:
x^2 + y^2 + z^2 +13x +9y -9z =14

Exercícios relacionados