Ache uma equação cartesiana da esfera que passa pelo ponto
e pela circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação de uma esfera que passa pelo ponto
e também passa por uma circunferência definida pelo sistema de equações:
Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com esferas e circunferências no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra e conhecimentos sobre equações de esferas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a circunferência dada é a interseção de uma esfera e um plano. A equação da esfera é:
E a equação do plano é:
Queremos encontrar uma nova esfera que contenha essa circunferência e também passe pelo ponto
.
Passo 3
Sabemos que todas as esferas que contêm a circunferência dada podem ser representadas como uma combinação linear da equação da esfera original e da equação do plano. Ou seja, a equação da nova esfera pode ser escrita como:
Aqui,
é um número real que vamos determinar para garantir que a esfera passe pelo ponto
.
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
na equação da esfera para encontrar o valor de
. Substituindo:
Vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 5
Calculando:
Simplificando os números:
Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos de volta na equação da nova esfera:
Distribuindo o 3:
Passo 8
Vamos reunir os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Para deixar a equação mais organizada, reescrevemos:
Resposta
A equação cartesiana da esfera procurada é: