Quais dos seguintes conjuntos de vetores sâo bases de R^3 ? Justifique sua resposta (3,3,3),(2,0,2),(1,1,5);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: “Quais dos seguintes conjuntos de vetores são bases de R^3? Justifique sua resposta (3,3,3),(2,0,2),(1,1,5).” Para isso, vamos precisar entender o que é uma base em R^3 e como verificar se um conjunto de vetores forma uma base. Basicamente, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em termos mais simples, não tem nenhum vetor “repetido” de alguma forma dentro do conjunto.

Passo 3

Para verificar se os vetores (3,3,3), (2,0,2) e (1,1,5) são linearmente independentes, podemos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são lineares independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores dados:
3 & 2 & 1 3 & 0 & 1 3 & 2 & 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. A fórmula do determinante para uma matriz 3x3 é:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz.

Passo 5

Aplicando os valores da nossa matriz:
det = 3(0 cdot 5 - 1 cdot 2) - 2(3 cdot 5 - 1 cdot 3) + 1(3 cdot 2 - 0 cdot 3)
Calculando cada parte:
= 3(0 - 2) - 2(15 - 3) + 1(6 - 0)
= 3(-2) - 2(12) + 1(6)
= -6 - 24 + 6
= -24

Passo 6

O determinante calculado foi -24, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como temos três vetores em R^3 que são linearmente independentes, isso também significa que eles geram todo o espaço R^3. Portanto, esses vetores formam uma base de R^3.

Resposta

Os vetores (3,3,3), (2,0,2) e (1,1,5) formam uma base de R^3 porque são linearmente independentes.

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