Encontre uma equação cartesiana do plano tangente à esfera
x^2+y^2+z^2-6 x-2 y+4 z-10=0
no ponto P=(-1,3,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação cartesiana do plano tangente à esfera definida por no ponto . Então, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera de forma mais clara, completando os quadrados para identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é . Vamos completar os quadrados para encontrar o centro e o raio .

Passo 3

Vamos completar os quadrados para x^2 - 6x & = (x - 3)^2 - 9 y^2 - 2y & = (y - 1)^2 - 1 z^2 + 4z & = (z + 2)^2 - 4 , (x - 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 - 10 = 0 e (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 - 24 = 0 Rightarrow (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 24 :
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é e o raio .

Passo 4

O plano tangente a uma esfera em um ponto n = P - C = (-1 - 3, 3 - 1, 0 - (-2)) = (-4, 2, 2) tem como vetor normal o vetor que vai do centro da esfera até o ponto nx(x - xP) + ny(y - yP) + nz(z - zP) = 0 . Vamos achar esse vetor normal -4(x + 1) + 2(y - 3) + 2(z - 0) = 0 :
-4x - 4 + 2y - 6 + 2z = 0 Rightarrow -4x + 2y + 2z - 10 = 0
Agora, a equação geral do plano é:
-2x + y + z - 5 = 0
Substituindo os valores:
2x - y - z + 5 = 0
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Multiplicando por -1 para deixar a equação com coeficientes positivos:

Resposta

A equação cartesiana do plano tangente à esfera no ponto 2x - y - z + 5 = 0 é:

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