Encontre uma equação cartesiana do plano tangente à esfera
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação cartesiana do plano tangente à esfera definida por
no ponto
. Então, vamos usar conceitos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera de forma mais clara, completando os quadrados para identificar o centro e o raio da esfera. A equação geral de uma esfera é
. Vamos completar os quadrados para encontrar o centro
e o raio
.
Passo 3
Vamos completar os quadrados para
,
e
:
Substituindo de volta na equação da esfera:
Simplificando:
Então, o centro da esfera é
e o raio
.
Passo 4
O plano tangente a uma esfera em um ponto
tem como vetor normal o vetor que vai do centro da esfera até o ponto
. Vamos achar esse vetor normal
:
Agora, a equação geral do plano é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Multiplicando por -1 para deixar a equação com coeficientes positivos:
Resposta
A equação cartesiana do plano tangente à esfera no ponto
é: