Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são quatro vetores no espaço tridimensional, ou seja, no . A questão é descobrir se esses vetores, juntos, conseguem “preencher” todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de span (ou geração de espaço) e independência linear. Basicamente, queremos ver se combinando esses vetores de alguma forma conseguimos chegar a qualquer ponto nesse espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores gerar o espaço , eles precisam ser linearmente independentes e suficientemente numerosos para cobrir as três dimensões. Embora tenhamos quatro vetores, que é mais do que o necessário para , precisamos verificar se pelo menos três deles são independentes.
Passo 3
Vamos organizar nossos vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
O próximo passo é calcular o determinate dessa matriz ou fazer uma redução de linhas para ver o posto (rank) da matriz. Se o posto for 3, significa que os vetores são suficientes para gerar R^3.
Passo 4
Vamos fazer uma redução de linha simplificando a matriz:
Deixe o primeiro elemento (1,1) como está.
Elimine os elementos abaixo dele:
Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha.
Agora, podemos ver que temos três pivôs (valores não nulos na diagonal principal), o que significa que o posto da matriz é 3. Isso indica que os três primeiros vetores são linearmente independentes e, portanto, eles geram o espaço R^3.
Resposta
Sim, os vetores v1, v2, v3 e v4 geram o espaço R^3, pois possuem posto 3 e são suficientes para preencher todo o espaço tridimensional.