Verifique se: Os vetores v1=(1,3,2), v2=(8,-9,2), v3=(10,0,23), v4=(2,4,0) geram o espaço R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são quatro vetores no espaço tridimensional, ou seja, no R^3. A questão é descobrir se esses vetores, juntos, conseguem “preencher” todo o espaço R^3. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de span (ou geração de espaço) e independência linear. Basicamente, queremos ver se combinando esses vetores de alguma forma conseguimos chegar a qualquer ponto nesse espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto de vetores gerar o espaço R^3, eles precisam ser linearmente independentes e suficientemente numerosos para cobrir as três dimensões. Embora tenhamos quatro vetores, que é mais do que o necessário para R^3, precisamos verificar se pelo menos três deles são independentes.

Passo 3

Vamos organizar nossos vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma coluna:
A = 1 & 8 & 10 & 2 3 & -9 & 0 & 4 2 & 2 & 23 & 0
O próximo passo é calcular o determinate dessa matriz ou fazer uma redução de linhas para ver o posto (rank) da matriz. Se o posto for 3, significa que os vetores são suficientes para gerar R^3.

Passo 4

Vamos fazer uma redução de linha simplificando a matriz:
  1. Deixe o primeiro elemento (1,1) como está.
  2. Elimine os elementos abaixo dele:
    • Subtraia 3 vezes a primeira linha da segunda linha.
    • Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 8 & 10 & 2 0 & -33 & -30 & -2 0 & -14 & 3 & -4

Passo 5

Continuando a redução, vamos trabalhar com a segunda linha. Podemos dividir a segunda linha por -33 para facilitar:
1 & 8 & 10 & 2 0 & 1 & 3033 & 233 0 & -14 & 3 & -4
Agora, vamos eliminar o -14 na terceira linha usando a segunda linha:
  • Adicione 14 vezes a segunda linha à terceira linha.
Isso nos dá:
1 & 8 & 10 & 2 0 & 1 & 1011 & 233 0 & 0 & 7311 & -1033

Passo 6

Agora, podemos ver que temos três pivôs (valores não nulos na diagonal principal), o que significa que o posto da matriz é 3. Isso indica que os três primeiros vetores são linearmente independentes e, portanto, eles geram o espaço R^3.

Resposta

Sim, os vetores v1, v2, v3 e v4 geram o espaço R^3, pois possuem posto 3 e são suficientes para preencher todo o espaço tridimensional.

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