Considere a equação matricial A C^2 X^t=C, onde A e C são matrizes invertíveis
(a) Determine X em função de A e C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação envolvendo matrizes: . Nosso objetivo é encontrar a matriz em função das matrizes e . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes invertíveis e como manipular equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz invertível é aquela que possui uma matriz inversa, ou seja, existe uma matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade. No nosso caso, as matrizes e são invertíveis, o que vai facilitar nossa resolução.

Passo 3

Queremos isolar (A C^2)^-1 = (C^2)^-1 A^-1 = C^-2 A^-1 na equação . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de . A inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa, ou seja:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação original pela inversa que encontramos:
(A C^2)^-1 A C^2 X^t = (A C^2)^-1 C
Do lado esquerdo, I X^t = (A C^2)^-1 C simplifica para a matriz identidade X^t = C^-2 A^-1 C , então:
Ou seja:

Passo 5

Agora, queremos (X^t)^t = (C^-2 A^-1 C)^t , não X = (C^-2 A^-1 C)^t . Para obter , vamos transpor ambos os lados da equação:
Sabemos que a transposta do transposto retorna à matriz original, então:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão da transposta. Lembrando que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa:
(C^-2 A^-1 C)^t = C^t (A^-1)^t (C^-2)^t
Como (A^-1)^t = (A^t)^-1 e (C^-2)^t = (C^t)^-1 (C^t)^-1 = (C^t)^-2 e X = C^t (A^t)^-1 (C^t)^-2 são invertíveis, suas transpostas também são invertíveis, e:
Então:

Resposta

A matriz X = C^t ( A^t )^-1 ( C^t )^-2 em função de e é:

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