Considere a equação matricial
, onde
e
são matrizes invertíveis
(a) Determine
em função de
e
.
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação envolvendo matrizes:
. Nosso objetivo é encontrar a matriz
em função das matrizes
e
. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes invertíveis e como manipular equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz invertível é aquela que possui uma matriz inversa, ou seja, existe uma matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade. No nosso caso, as matrizes
e
são invertíveis, o que vai facilitar nossa resolução.
Passo 3
Queremos isolar
na equação
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
. A inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa, ou seja:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação original pela inversa que encontramos:
Do lado esquerdo,
simplifica para a matriz identidade
, então:
Ou seja:
Passo 5
Agora, queremos
, não
. Para obter
, vamos transpor ambos os lados da equação:
Sabemos que a transposta do transposto retorna à matriz original, então:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão da transposta. Lembrando que a transposta de um produto de matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa:
Como
e
são invertíveis, suas transpostas também são invertíveis, e:
Então:
Resposta
A matriz
em função de
e
é: