Ache a equação cartesiana do gráfico.
b) R(t) = sec(t) i + tgt j, t in (-pi/2, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é achar a equação cartesiana do gráfico da função vetorial para entre e . Isso significa que vamos converter essas expressões paramétricas em uma equação que relaciona e diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas funções trigonométricas. A função é o inverso do cosseno, ou seja, , e é a tangente, que é . Elas estão sendo usadas para definir as coordenadas e em termos de .

Passo 3

Agora, vamos escrever as coordenadas e separadamente:
Nossa meta é eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 4

Vamos resolver a equação de para encontrar :
Agora, sabemos que . Vamos usar isso para encontrar .

Passo 5

Substituindo na identidade trigonométrica:
(Não nos preocupamos com o sinal aqui porque o intervalo de garante , então terá o mesmo sinal de .)

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão para :
Simplificando:

Resposta

A equação cartesiana do gráfico é .

Exercícios relacionados

Ache a equação cartesiana do gráfico.
a) R(t) = t^2 * i + (t + 1) * j
Ache d/y d/x e d²y/dx² sem eliminar o parâmetro.
x = a cosh(t), y = b senh(t)
Ache a equação cartesiana do gráfico.
c) R(t)=cos t i+cos t j, t in[0, pi2] d) R(t)=4 cos t i+3 sen t j, t in[0,2 pi]
Ache uma equação da reta tangente à curva:
x = 1 + 3 sen, y = 2 - 5 cos t, t = pi / 6