Ache a equação cartesiana do gráfico.
a) R(t) = t^2 * i + (t + 1) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação paramétrica que descreve um gráfico. O que precisamos fazer é encontrar a equação cartesiana desse gráfico. Ou seja, transformar as equações que usam o parâmetro em uma única equação que relaciona e . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas que temos:
Aqui, é o parâmetro que controla os valores de e .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o parâmetro para encontrar uma relação direta entre e . Para isso, podemos resolver uma das equações para e substituir na outra.

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para :
Agora, temos expresso em termos de .

Passo 5

Agora, substituímos esse valor de na primeira equação:
Então, a relação entre e fica assim.

Passo 6

Expandindo a expressão , temos:
Essa é a equação cartesiana que descreve o gráfico originalmente dado pelas equações paramétricas.

Resposta

A equação cartesiana do gráfico é:

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Ache d/y d/x e d²y/dx² sem eliminar o parâmetro.
x = a cosh(t), y = b senh(t)
Ache d/y d/x e d²y/dx² sem eliminar o parâmetro.
x = a cos(t), y = b sen(t)
Ache a equação cartesiana do gráfico.
b) R(t) = sec(t) i + tgt j, t in (-pi/2, pi/2)
Ache a equação cartesiana do gráfico.
c) R(t)=cos t i+cos t j, t in[0, pi2] d) R(t)=4 cos t i+3 sen t j, t in[0,2 pi]