Ache a equação cartesiana do gráfico.
c) R(t)=cos t i+cos t j, t in[0, pi2] d) R(t)=4 cos t i+3 sen t j, t in[0,2 pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação cartesiana dos gráficos das funções vetoriais dadas. Isso envolve transformar as equações paramétricas em uma única equação que relaciona e , sem o parâmetro . Para isso, vamos usar conceitos de trigonometria e identidade trigonométrica fundamental.

Passo 2

Parte c)
A função vetorial é x = cos t , onde y = cos t .
Vamos separar as componentes:
x = y
y = x
Como ambas as coordenadas e são iguais a , podemos igualá-las diretamente:
Então, a equação cartesiana é simplesmente:

Passo 3

Parte d)
A função vetorial é , onde x = 4 cos t .
Vamos separar as componentes:
y = 3 sen t
Agora, vamos resolver para cos t = x4 e :
sen t = y3
Sabemos pela identidade trigonométrica fundamental que:
Substituindo os valores encontrados:
cos^2 t + sen^2 t = 1
Simplificando:
(x4)^2 + (y3)^2 = 1
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos de comprimentos 4 e 3.

Resposta

c)
d)

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b) R(t) = sec(t) i + tgt j, t in (-pi/2, pi/2)
Ache a equação cartesiana do gráfico.
a) R(t) = t^2 * i + (t + 1) * j
Ache uma equação da reta tangente à curva:
x = 1 + 3 sen, y = 2 - 5 cos t, t = pi / 6
Ache uma equação da reta tangente à curva:
x = 2 sen, y = 5 cos(t), t = pi/3