Ache a equação cartesiana do gráfico tendo a sua equação polar. r = 6 / (2 - 3 sen(θ))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação cartesiana do gráfico cuja equação polar é . Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas e algumas operações matemáticas básicas.

Passo 2

Vamos lembrar das relações fundamentais entre coordenadas polares e cartesianas :
Essas fórmulas vão nos ajudar a converter a equação polar para a forma cartesiana.

Passo 3

Começamos com a equação polar dada:
Para facilitar a conversão, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador :

Passo 4

Distribuindo o dentro dos parênteses:
Sabemos que , então podemos substituir:

Passo 5

Vamos isolar na equação:

Passo 6

Como , substituímos na equação:
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:

Passo 8

Vamos sempre trazer tudo para um lado da equação para simplificar:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 9

Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar as frações:

Passo 10

Organizando os termos:

Passo 11

Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem :
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos :

Passo 12

Distribuindo o e reorganizando os termos:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 13

Vamos dividir ambos os lados por para deixar a equação na forma padrão:
Simplificando as frações:

Resposta

A equação cartesiana do gráfico é:

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