Ache a equação cartesiana do gráfico tendo a sua equação polar.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação cartesiana do gráfico cuja equação polar é
. Para isso, vamos usar as relações entre coordenadas polares e cartesianas e algumas operações matemáticas básicas.
Passo 2
Vamos lembrar das relações fundamentais entre coordenadas polares
e cartesianas
:
Essas fórmulas vão nos ajudar a converter a equação polar para a forma cartesiana.
Passo 3
Começamos com a equação polar dada:
Para facilitar a conversão, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador
:
Passo 4
Distribuindo o
dentro dos parênteses:
Sabemos que
, então podemos substituir:
Passo 5
Vamos isolar
na equação:
Passo 6
Como
, substituímos na equação:
Para eliminar a raiz, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 7
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Passo 8
Vamos sempre trazer tudo para um lado da equação para simplificar:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 9
Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar as frações:
Passo 10
Organizando os termos:
Passo 11
Agora, vamos completar o quadrado para os termos que envolvem
:
Para completar o quadrado dentro do parêntese, adicionamos e subtraímos
:
Passo 12
Distribuindo o
e reorganizando os termos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 13
Vamos dividir ambos os lados por
para deixar a equação na forma padrão:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação cartesiana do gráfico é: