Cada equação polar representa uma cônica tendo um foco na origem. Identifique a cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação polar que representa uma cônica com um foco na origem:
. Nosso objetivo aqui é identificar qual tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica das cônicas na forma polar.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares com um foco na origem:
Aqui,
é a excentricidade da cônica e
é a distância focal. A excentricidade nos ajuda a determinar o tipo de cônica:
- Se
, temos uma círculo. - Se
, é uma elipse. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
Passo 3
Vamos comparar a equação dada com a forma geral. A equação fornecida é:
Podemos reescrever essa equação para ficar parecida com a forma geral:
Assim, identificamos que:
Passo 4
Agora que temos a excentricidade
, vamos analisar qual cônica corresponde a esse valor. Como
é menor que 1, ou seja,
, isso indica que a cônica é uma elipse.
Resposta
A equação
representa uma elipse.
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Faça um esboço do gráfico da equação dada.
Ache a equação cartesiana do gráfico tendo a sua equação polar.
Calcule as integrais:
Calcule as integrais: