Ache uma equação cartesiana do plano bissetor do ângulo diedro agudo formado pelos planos 2 x- 3 y-4 z-3=0 e 4 x-3 y-2 z-3=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação cartesiana do plano bissetor do ângulo diedro agudo formado pelos planos e . Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com a análise de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como determinar o bissetor de dois planos, utilizando as normas dos planos e a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes das equações dos planos. Para o primeiro plano , os coeficientes são , , , e . Para o segundo plano , os coeficientes são , , , e .

Passo 3

Em seguida, calculamos as normas dos vetores normais de cada plano. A norma de um plano |N1| = raiz2^2 + (-3)^2 + (-4)^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29 é dada por |N2| = raiz4^2 + (-3)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 9 + 4 = raiz29 .
Para :
Para :

Passo 4

Com as normas calculadas, usamos a fórmula do bissetor de dois planos. A equação do bissetor pode ser dada por:
A1x + B1y + C1z + D1|N1| = pm A2x + B2y + C2z + D2|N2|
Como as normas são iguais ( A1x + B1y + C1z + D1 = pm (A2x + B2y + C2z + D2) ), a equação simplifica para:

Passo 5

Aplicando os valores dos coeficientes:
2x - 3y - 4z - 3 = pm (4x - 3y - 2z - 3)
Isso resulta em duas possibilidades:

Passo 6

Resolvendo a primeira possibilidade:
2x - 3y - 4z - 3 = 4x - 3y - 2z - 3
Subtraindo 0 = 2x + 2z , adicionando 2x + 2z = 0 Rightarrow x + z = 0 e 2x - 3y - 4z - 3 = -4x + 3y + 2z + 3 aos dois lados:
6x + 0y - 2z = 6
Simplificando:
6x - 2z = 6 Rightarrow 3x - z = 3
Resolvendo a segunda possibilidade:
Somando , adicionando , adicionando e adicionando aos dois lados:
Simplificando:

Passo 7

Agora, determinamos qual das duas equações representa o bissetor do ângulo diedro agudo. Para isso, verificamos qual bissetor está mais próximo do ângulo agudo formado pelos planos. Comparando as equações e , constatamos que a equação corresponde ao bissetor do ângulo agudo.

Resposta

A equação cartesiana do plano bissetor do ângulo diedro agudo é .

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