Ache uma equação cartesiana do plano bissetor do ângulo diedro agudo formado pelos planos
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação cartesiana do plano bissetor do ângulo diedro agudo formado pelos planos
e
. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com a análise de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como determinar o bissetor de dois planos, utilizando as normas dos planos e a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, identificamos os coeficientes das equações dos planos. Para o primeiro plano
, os coeficientes são
,
,
, e
. Para o segundo plano
, os coeficientes são
,
,
, e
.
Passo 3
Em seguida, calculamos as normas dos vetores normais de cada plano. A norma de um plano
é dada por
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Com as normas calculadas, usamos a fórmula do bissetor de dois planos. A equação do bissetor pode ser dada por:
Como as normas são iguais (
), a equação simplifica para:
Passo 5
Aplicando os valores dos coeficientes:
Isso resulta em duas possibilidades:
Passo 6
Resolvendo a primeira possibilidade:
Subtraindo
, adicionando
e
aos dois lados:
Simplificando:
Resolvendo a segunda possibilidade:
Somando
, adicionando
, adicionando
e adicionando
aos dois lados:
Simplificando:
Passo 7
Agora, determinamos qual das duas equações representa o bissetor do ângulo diedro agudo. Para isso, verificamos qual bissetor está mais próximo do ângulo agudo formado pelos planos. Comparando as equações
e
, constatamos que a equação
corresponde ao bissetor do ângulo agudo.
Resposta
A equação cartesiana do plano bissetor do ângulo diedro agudo é
.