Em cada caso, indique a posição relativa da reta e do plano . , П : .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pela interseção de duas superfícies planas e um plano . Nosso objetivo é descobrir como a reta se posiciona em relação ao plano . Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de geometria analítica, como vetores diretores de retas e normais de planos, além de entender quando uma reta está contida, paralela ou intersecta um plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta . A reta é a interseção de dois planos, então o vetor diretor da reta é perpendicular aos vetores normais desses planos. Vamos identificar os vetores normais dos dois planos que definem :
Plano 1: → Vetor normal
Plano 2: → Vetor normal
Para encontrar o vetor diretor de , calculamos o produto vetorial de e :
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano d cdot nPi = 5 times 4 + 9 times (-3) + 1 times 7 = 20 - 27 + 7 = 0 . O vetor normal do plano é .
Para determinar se a reta é paralela, está contida ou intersecta o plano , precisamos verificar o relacionamento entre e :
Retas paralelas ao plano: O vetor diretor da reta é paralelo ao plano, ou seja, é perpendicular ao vetor normal do plano.
Retas que intersectam o plano: O vetor diretor da reta não é perpendicular ao vetor normal do plano.
Retas contidas no plano: Além de serem paralelas, todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano.
Vamos calcular o produto escalar entre e :
Como o produto escalar é zero, isso significa que o vetor diretor é perpendicular ao vetor normal , indicando que a reta é paralela ao plano .
Passo 4
Mesmo sabendo que a reta é paralela ao plano, precisamos verificar se a reta está contida no plano 5x - 3y + 2z = 5 2x - y - z = 1 . Para isso, vamos verificar se os pontos da reta satisfazem a equação do plano.
Como temos a reta 5x - 3y + 2z = 5 4x - 2y - 2z = 2 definida pela interseção de dois planos, qualquer ponto 9x - 5y = 7 Rightarrow y = 9x -75 em y = 9(1) -75 = 25 satisfaz as equações dos dois planos. Vamos escolher um ponto específico para testar no plano 2(1) - 25 - z = 1 Rightarrow 2 - 25 - z = 1 Rightarrow z = 2 - 25 -1 = 35 . Por exemplo, podemos resolver o sistema das equações dos planos que definem 4(1) - 3(25) + 7(35) = 4 - 65 + 215 = 4 + 155 = 4 + 3 = 7 :
Multiplicando a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação:
Somando as duas equações:
Escolhendo :
Substituindo e na segunda equação:
Portanto, um ponto em é .
Vamos verificar se esse ponto está no plano :
Como o lado esquerdo da equação do plano resulta em 7, que é igual ao lado direito, o ponto está no plano . Isso significa que a reta está contida no plano .
Resposta
A reta está contida no plano , ou seja, pertence a .