Calcule adj(A) e quando existir calcule A^-1, para as seguintes matrizes :
(b) [cccc2 & -1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 6]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a adjunta da matriz , denotada por , e, se possível, encontrar a inversa da matriz, . Essa é uma questão de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o que é a adjunta de uma matriz e como calcular a inversa usando a adjunta e o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a adjunta de uma matriz. A adjunta de uma matriz , , é a matriz transposta de sua matriz de cofatores. Ou seja, para cada elemento de , calculamos o cofator correspondente, organizamos esses cofatores em uma matriz, e depois transpondo essa matriz, obtemos a adjunta.

Passo 3

Vamos calcular os cofatores da matriz A = 2 & -1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 6 . A matriz dada é:
Perceba que é uma matriz diagonal com um bloco no canto superior esquerdo. Isso facilita o cálculo dos cofatores, já que muitos elementos são zero.

Passo 4

Vamos calcular os cofatores para cada elemento de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . O cofator de um elemento é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra após remover a -ésima linha e a -ésima coluna de .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os menores complementares para os elementos não nulos de M11 = det 3 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 6 = 3 times 1 times 6 = 18 :
  1. Para C11 = (-1)^1+1 times 18 = 1 times 18 = 18 :
M12 = det 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 6 = 1 times 1 times 6 = 6
C12 = (-1)^1+2 times 6 = -1 times 6 = -6
  1. Para M21 = det -1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 6 = (-1) times 1 times 6 = -6 :
C21 = (-1)^2+1 times (-6) = -1 times (-6) = 6
M22 = det 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 6 = 2 times 1 times 6 = 12
  1. Para C22 = (-1)^2+2 times 12 = 1 times 12 = 12 :
M33 = det 2 & -1 & 0 1 & 3 & 0 0 & 0 & 6 = 2 times 3 times 6 - (-1) times 1 times 6 = 36 + 6 = 42
C33 = (-1)^3+3 times 42 = 1 times 42 = 42
  1. Para M44 = det 2 & -1 & 0 1 & 3 & 0 0 & 0 & 1 = 2 times 3 times 1 - (-1) times 1 times 1 = 6 + 1 = 7 :
C44 = (-1)^4+4 times 7 = 1 times 7 = 7
  1. Para :
Como está na posição , o menor complementar é a matriz restante:
  1. Para :
Os demais elementos de são zero, então seus cofatores também serão zero.

Passo 6

Agora, vamos montar a matriz de cofatores C = 18 & -6 & 0 & 0 6 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 7 :

Passo 7

A adjunta de adj(A) = C^T = 18 & 6 & 0 & 0 -6 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 7 , , é a transposta da matriz de cofatores . Vamos transpor :

Passo 8

Agora, vamos verificar se a matriz A^-1 = 1det(A) adj(A) é invertível, ou seja, se o determinante de det(A) = det 2 & -1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 6 é diferente de zero. Se for, podemos calcular a inversa usando a fórmula:
det(A) = 2 times 3 times 1 times 6 = 36
Vamos calcular o determinante de :
Como é uma matriz triangular (toda abaixo ou acima da diagonal principal é zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Como , a matriz é invertível.

Passo 9

Finalmente, vamos calcular a inversa de A^-1 = 136 adj(A) = 136 18 & 6 & 0 & 0 -6 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 7 usando a adjunta e o determinante:
A^-1 = 1836 & 636 & 0 & 0 -636 & 1236 & 0 & 0 0 & 0 & 4236 & 0 0 & 0 & 0 & 736 = 12 & 16 & 0 & 0 -16 & 13 & 0 & 0 0 & 0 & 76 & 0 0 & 0 & 0 & 736
Simplificando, temos:

Resposta

A adjunta de adj(A) = 18 & 6 & 0 & 0 -6 & 12 & 0 & 0 0 & 0 & 42 & 0 0 & 0 & 0 & 7 é:
A^-1 = 12 & 16 & 0 & 0 -16 & 13 & 0 & 0 0 & 0 & 76 & 0 0 & 0 & 0 & 736
E a inversa de é:

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