Ache a projecão do ponto
sobre o plano
, e determine o ponto Q simétrico de
em relação ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a projeção do ponto
sobre o plano
e depois determinar o ponto simétrico
de
em relação a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e fórmulas de projeção de pontos em planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano
. O vetor normal é dado pelos coeficientes de
,
e
na equação do plano. Então, temos:
Esse vetor é importante porque ele nos ajuda a determinar a direção perpendicular ao plano.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a distância do ponto
ao plano
. A fórmula para a distância
de um ponto
a um plano
é:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Portanto, a distância do ponto
ao plano é
.
Passo 5
Para encontrar a projeção
de
no plano
, usamos a fórmula:
Sabemos que
e
.
Passo 6
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando, encontramos a projeção:
Passo 8
Agora, para encontrar o ponto simétrico
de
em relação ao plano
, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Resposta
A projeção do ponto
no plano
é
e o ponto simétrico
de
em relação ao plano
é
.