Ache a projecão do ponto P=(5,2,-1) sobre o plano Pi: 2 x-y+3 z+23=0, e determine o ponto Q simétrico de P em relação ao plano Pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a projeção do ponto sobre o plano e depois determinar o ponto simétrico de em relação a esse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e fórmulas de projeção de pontos em planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal ao plano n = (2, -1, 3) . O vetor normal é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, temos:
Esse vetor é importante porque ele nos ajuda a determinar a direção perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a distância do ponto D = |a x0 + b y0 + c z0 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 ao plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
Vamos aplicar isso ao nosso caso.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
D = |2 cdot 5 + (-1) cdot 2 + 3 cdot (-1) + 23|raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = |10 - 2 - 3 + 23|raiz4 + 1 + 9 = |28|raiz14 = 28raiz14 = 28raiz14 cdot raiz14raiz14 = 28 raiz1414 = 2 raiz14
Portanto, a distância do ponto ao plano é .

Passo 5

Para encontrar a projeção P' = P - D|n|^2 n de no plano , usamos a fórmula:
Sabemos que e .

Passo 6

Substituindo os valores:
P' = (5, 2, -1) - 2 raiz1414 (2, -1, 3) = (5, 2, -1) - ( raiz147 cdot 2, raiz147 cdot (-1), raiz147 cdot 3 )
P' = (5 - 2 raiz147, 2 + raiz147, -1 - 3 raiz147)

Passo 7

Simplificando, encontramos a projeção:
P' = (5 - 2 raiz147,, 2 + raiz147,, -1 - 3 raiz147)

Passo 8

Agora, para encontrar o ponto simétrico Q = P - 2 cdot D cdot n|n|^2 de Q = (5, 2, -1) - 2 cdot 2 raiz14 cdot (2, -1, 3)14 = (5, 2, -1) - 4 raiz1414 (2, -1, 3) em relação ao plano Q = (5, 2, -1) - ( 8 raiz1414, -4 raiz1414, 12 raiz1414 ) , usamos a relação:
Q = (5 - 4 raiz147,, 2 + 2 raiz147,, -1 - 6 raiz147)
Substituindo os valores:

Resposta

A projeção do ponto no plano é e o ponto simétrico de em relação ao plano é .

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