Dados os espaços vetoriais
considere o conjunto
(produto cartesiano de
por
), cujos elementos sāo os pares ordenados
, com
e
. Defina operaçōes que tornem
um espaço vetorial. Verifique a validade de cada um dos axiomas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos operações que transformem o conjunto
em um espaço vetorial. Aqui,
e
são espaços vetoriais, e
é o produto cartesiano deles, ou seja, cada elemento de
é um par ordenado
com
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar, além de verificar os axiomas que definem um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos definir como será a adição em
. Se temos dois vetores em
, digamos
e
, a soma deles será
. Ou seja, somamos componente por componente usando a operação de adição dos espaços
e
.
Passo 3
Agora, vamos definir a multiplicação por escalar. Se temos um escalar
e um vetor
em
, a multiplicação será
. Novamente, aplicamos a multiplicação escalar em cada componente individualmente, usando a operação de multiplicação nos espaços
e
.
Passo 4
Com essas definições, nossa próxima tarefa é verificar os axiomas de um espaço vetorial para garantir que
, com essas operações, realmente forme um espaço vetorial. Vamos lembrar os axiomas principais:
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que - Elemento inverso da adição: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação dos escalares:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
- Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas para
.
Passo 5
1. Comutatividade da adição:
Para dois vetores
e
em
,
A adição em
e
é comutativa, logo a adição em
também é.
Passo 6
2. Associatividade da adição:
Para três vetores
,
e
em
,
Como a adição em
e
é associativa, isso se reflete em
.
Passo 7
3. Elemento neutro da adição:
O vetor zero em
será
, onde
e
são os vetores nulos nos espaços
e
, respectivamente.
Portanto,
é o elemento neutro em
.
Passo 8
4. Elemento inverso da adição:
Para cada
em
, o inverso será
, onde
e
são os inversos em
e
, respectivamente.
Assim, cada vetor tem um inverso em
.
Passo 9
5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação dos escalares:
Para escalares
e
, e vetor
em
,
Isso mostra a compatibilidade desejada.
Passo 10
6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para escalar
e vetores
e
em
,
O que confirma a distributividade.
Passo 11
7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares
e
, e vetor
em
,
Assim, a distribuividade também se aplica aqui.
Passo 12
8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Para
e qualquer vetor
em
,
O número 1 atua como o elemento neutro na multiplicação por escalar.
Resposta
Concluímos que, definindo a adição e a multiplicação por escalar componente a componente, o conjunto
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto,
é, de fato, um espaço vetorial.