Dados os espaços vetoriais V1, V2 considere o conjunto V=V1 times V2 (produto cartesiano de V1 por V2 ), cujos elementos sāo os pares ordenados v=(v1, v2), com v1 in V1 e v2 in V2. Defina operaçōes que tornem V um espaço vetorial. Verifique a validade de cada um dos axiomas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para definirmos operações que transformem o conjunto em um espaço vetorial. Aqui, e são espaços vetoriais, e é o produto cartesiano deles, ou seja, cada elemento de é um par ordenado com e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar, além de verificar os axiomas que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos definir como será a adição em . Se temos dois vetores em , digamos e , a soma deles será . Ou seja, somamos componente por componente usando a operação de adição dos espaços e .

Passo 3

Agora, vamos definir a multiplicação por escalar. Se temos um escalar e um vetor em , a multiplicação será . Novamente, aplicamos a multiplicação escalar em cada componente individualmente, usando a operação de multiplicação nos espaços e .

Passo 4

Com essas definições, nossa próxima tarefa é verificar os axiomas de um espaço vetorial para garantir que , com essas operações, realmente forme um espaço vetorial. Vamos lembrar os axiomas principais:
  1. Comutatividade da adição:
  2. Associatividade da adição:
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
  4. Elemento inverso da adição: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação dos escalares:
  6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
  8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada um desses axiomas para .

Passo 5

1. Comutatividade da adição:
Para dois vetores (v1, v2) + (w1, w2) = (v1 + w1, v2 + w2) = (w1 + v1, w2 + v2) = (w1, w2) + (v1, v2) e em ,
A adição em e é comutativa, logo a adição em também é.

Passo 6

2. Associatividade da adição:
Para três vetores ((u1, u2) + (v1, v2)) + (w1, w2) = (u1 + v1, u2 + v2) + (w1, w2) = ((u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2) , (u1, u2) + ((v1, v2) + (w1, w2)) = (u1, u2) + (v1 + w1, v2 + w2) = (u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2)) e em ,
Como a adição em e é associativa, isso se reflete em .

Passo 7

3. Elemento neutro da adição:
O vetor zero em (v1, v2) + (0V1, 0V2) = (v1 + 0V1, v2 + 0V2) = (v1, v2) será , onde e são os vetores nulos nos espaços e , respectivamente.
Portanto, é o elemento neutro em .

Passo 8

4. Elemento inverso da adição:
Para cada (v1, v2) + (-v1, -v2) = (v1 + (-v1), v2 + (-v2)) = (0V1, 0V2) em , o inverso será , onde e são os inversos em e , respectivamente.
Assim, cada vetor tem um inverso em .

Passo 9

5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação dos escalares:
Para escalares alpha (beta (v1, v2)) = alpha (beta v1, beta v2) = (alpha (beta v1), alpha (beta v2)) = ((alpha beta) v1, (alpha beta) v2) = (alpha beta) (v1, v2) e , e vetor em ,
Isso mostra a compatibilidade desejada.

Passo 10

6. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para escalar alpha ((u1, u2) + (v1, v2)) = alpha (u1 + v1, u2 + v2) = (alpha (u1 + v1), alpha (u2 + v2)) e vetores = (alpha u1 + alpha v1, alpha u2 + alpha v2) = (alpha u1, alpha u2) + (alpha v1, alpha v2) = alpha (u1, u2) + alpha (v1, v2) e em ,
O que confirma a distributividade.

Passo 11

7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para escalares (alpha + beta) (v1, v2) = ((alpha + beta) v1, (alpha + beta) v2) e = (alpha v1 + beta v1, alpha v2 + beta v2) = (alpha v1, alpha v2) + (beta v1, beta v2) = alpha (v1, v2) + beta (v1, v2) , e vetor em ,
Assim, a distribuividade também se aplica aqui.

Passo 12

8. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
Para 1 cdot (v1, v2) = (1 cdot v1, 1 cdot v2) = (v1, v2) e qualquer vetor em ,
O número 1 atua como o elemento neutro na multiplicação por escalar.

Resposta

Concluímos que, definindo a adição e a multiplicação por escalar componente a componente, o conjunto satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Portanto, é, de fato, um espaço vetorial.

Exercícios relacionados