Ache uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto e é paralelo às retas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação cartesianna de um plano que passa pelo ponto e é paralelíssimo às duas retas dadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e equações de planos. O que vamos precisar é saber como encontrar um vetor normal ao plano usando os vetores das retas e depois aplicar a fórmula da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das duas retas que o plano precisa ser paralelo. Olha só:
A primeira reta é , então o vetor direcional é .
A segunda reta é , então o vetor direcional é .
Esses vetores vão nos ajudar a determinar a orientação do plano.
Passo 3
Agora, para achar um vetor normal ao plano, a gente vai fazer o produto vetorial desses dois vetores direcionais. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, ou seja, perpendicular ao plano que a gente quer encontrar.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
n = i(3 + 6) - j(-2 - 9) + k(-4 + 9)
n = 9i + 11j + 5k
Portanto, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal n cdot (X - P) = 0 e o ponto 9(x - 1) + 11(y - 2) + 5(z + 3) = 0 , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Vamos expandir isso:
Passo 5
Agora, é só simplificar essa equação para a forma cartesianna: