Ache uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto P=(1,2,-3) e é paralelo às retas X=(1+2 t,-1-3 t, 7+3 t) e X=(3 t-5,2-2 t,-3-t), t in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação cartesianna de um plano que passa pelo ponto e é paralelíssimo às duas retas dadas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e equações de planos. O que vamos precisar é saber como encontrar um vetor normal ao plano usando os vetores das retas e depois aplicar a fórmula da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais das duas retas que o plano precisa ser paralelo. Olha só:
A primeira reta é , então o vetor direcional é .
A segunda reta é , então o vetor direcional é .
Esses vetores vão nos ajudar a determinar a orientação do plano.

Passo 3

Agora, para achar um vetor normal ao plano, a gente vai fazer o produto vetorial desses dois vetores direcionais. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos, ou seja, perpendicular ao plano que a gente quer encontrar.
Vamos calcular n = i & j & k 2 & -3 & 3 3 & -2 & -1 :
n = i((-3)(-1) - (3)(-2)) - j((2)(-1) - (3)(3)) + k((2)(-2) - (-3)(3))
Calculando o determinante:
n = i(3 + 6) - j(-2 - 9) + k(-4 + 9)
n = 9i + 11j + 5k
Portanto, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (X - P) = 0 e o ponto 9(x - 1) + 11(y - 2) + 5(z + 3) = 0 , podemos usar a fórmula da equação do plano:
Onde é um ponto qualquer no plano. Vamos expandir isso:

Passo 5

Agora, é só simplificar essa equação para a forma cartesianna:
9x - 9 + 11y - 22 + 5z + 15 = 0
Juntando os termos:
9x + 11y + 5z - 16 = 0

Resposta

A equação cartesianna do plano é:
9x + 11y + 5z - 16 = 0

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