Em cada caso, indique a posição relativa da reta L e do plano Pi.
L: X=(-3+3 t, 2-t,-1-5 t), t in R, Pi: x-2 y+z-15=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta e um plano . Nosso objetivo aqui é descobrir como eles estão posicionados em relação um ao outro. Pode ser que a reta esteja paralela ao plano, que ela intersecte o plano em um ponto, ou até que a reta esteja totalmente contida no plano. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores direcionais e normais, além de como usar essas informações para determinar a posição relativa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta L: X = (-3 + 3t, , 2 - t, , -1 - 5t) e o plano v = (3, , -1, , -5) .
  • Vetor Direcional da Reta Pi: x - 2y + z - 15 = 0 : Olhando a equação paramétrica da reta:
    n = (1, , -2, , 1)
    O vetor direcional é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro :
  • Vetor Normal do Plano : A equação geral do plano é:
    O vetor normal é formado pelos coeficientes de , e :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a reta v cdot n = (3)(1) + (-1)(-2) + (-5)(1) = 3 + 2 - 5 = 0 é paralela ao plano ou se ela intersecta o plano.
Para isso, calculamos o produto escalar entre o vetor direcional da reta e o vetor normal do plano :
O produto escalar deu 0, o que significa que os vetores são perpendiculares. Isso indica que a reta é paralela ao plano ou está contida no plano.

Passo 4

Como já sabemos que a reta é paralela ou está no plano, vamos verificar se ela está realmente contida no plano P = (-3 + 3(0), , 2 - 0, , -1 - 5(0)) = (-3, , 2, , -1) .
Para isso, pegamos um ponto qualquer da reta x - 2y + z - 15 = (-3) - 2(2) + (-1) - 15 = -3 -4 -1 -15 = -23 neq 0 e verificamos se ele satisfaz a equação do plano . Vamos escolher na equação da reta:
Agora, substituímos as coordenadas de na equação do plano:
Como o ponto não satisfaz a equação do plano, concluímos que a reta não está contida no plano .

Resposta

A reta é paralela ao plano .

Exercícios relacionados