Em cada caso, indique a posição relativa da reta
e do plano
.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta
e um plano
. Nosso objetivo aqui é descobrir como eles estão posicionados em relação um ao outro. Pode ser que a reta esteja paralela ao plano, que ela intersecte o plano em um ponto, ou até que a reta esteja totalmente contida no plano. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores direcionais e normais, além de como usar essas informações para determinar a posição relativa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que representam a reta
e o plano
.
-
Vetor Direcional da Reta
: Olhando a equação paramétrica da reta: O vetor direcionalé dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro : -
Vetor Normal do Plano
: A equação geral do plano é: O vetor normalé formado pelos coeficientes de , e :
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a reta
é paralela ao plano
ou se ela intersecta o plano.
Para isso, calculamos o produto escalar entre o vetor direcional da reta
e o vetor normal do plano
:
O produto escalar deu 0, o que significa que os vetores são perpendiculares. Isso indica que a reta
é paralela ao plano
ou está contida no plano.
Passo 4
Como já sabemos que a reta é paralela ou está no plano, vamos verificar se ela está realmente contida no plano
.
Para isso, pegamos um ponto qualquer da reta
e verificamos se ele satisfaz a equação do plano
. Vamos escolher
na equação da reta:
Agora, substituímos as coordenadas de
na equação do plano:
Como o ponto
não satisfaz a equação do plano, concluímos que a reta
não está contida no plano
.
Resposta
A reta
é paralela ao plano
.