Encontre a equação reduzida, represente graficamente e depois determine os elementos das cônicas (centro, focos, vértices. diretriz, eixos de simetria):
x^2+2 x-16 y-31=0.

Passo 1

Beleza, então temos a equação . Nosso objetivo aqui é transformar essa equação na forma mais simples possível, ou seja, a equação reduzida. Depois, vamos desenhar o gráfico dessa equação e identificar os principais elementos da cônica, como centro, focos, vértices, diretriz e eixos de simetria. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parábolas, que é a cônica que estamos lidando aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da parábola. A gente quer isolar os termos em x^2 + 2x - 31 = 16y de um lado. Então, vamos deixar y = 116x^2 + 216x - 3116 sozinho:
y = 116x^2 + 18x - 3116
Agora, dividimos todos os termos por 16 para deixar isolado:
Simplificando os coeficientes:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para transformar a equação em uma forma mais reconhecível de uma parábola. A ideia aqui é reescrever a parte que envolve 116x^2 + 18x de forma que possamos identificar a abertura e a posição da parábola.
Primeiro, focamos nos termos com 116(x^2 + 2x) :
116( x^2 + 2x + 1 - 1 ) = 116( (x + 1)^2 - 1 )
Podemos fatorar o coeficiente de y = 116(x + 1)^2 - 116 - 3116 :
y = 116(x + 1)^2 - 3216 Rightarrow y = 116(x + 1)^2 - 2
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, tomamos a metade do coeficiente de , que é 1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 4

Pronto! Agora temos a equação reduzida da parábola:
y = 116(x + 1)^2 - 2
Essa forma nos mostra que a parábola abre para cima, já que o coeficiente de é positivo. Além disso, o termo indica que a parábola está transladada 1 unidade para a esquerda, e o termo constante indica que está 2 unidades para baixo.

Passo 5

Vamos identificar os elementos da parábola:
  1. Vértice: É o ponto onde a parábola muda de direção. A forma reduzida Distância ao foco = 14 times 116 = 4 mostra que o vértice é Foco = (-1, -2 + 4) = (-1, 2) . No nosso caso, temos Diretriz : y = -2 - 4 = -6 e . Então, o vértice é .
  2. Eixo de simetria: É a linha que passa pelo vértice e divide a parábola em duas partes iguais. Para parábolas que abrem para cima ou para baixo, o eixo de simetria é uma reta vertical do tipo . Portanto, nosso eixo de simetria é .
  3. Foco: É um ponto dentro da parábola que ajuda a definir sua curvatura. A distância do vértice ao foco é dada por . No nosso caso, , então:
â
Como a parábola abre para cima, o foco fica 4 unidades acima do vértice:
  1. Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo de simetria e fica do lado oposto do foco em relação ao vértice. A distância da diretriz ao vértice é a mesma do foco, ou seja, 4 unidades. Então, a diretriz está 4 unidades abaixo do vértice:
  1. Vértices: No caso de uma parábola, temos apenas um vértice, que já identificamos como .

Passo 6

Para representar graficamente a parábola, usamos a equação reduzida que encontramos:
y = 116(x + 1)^2 - 2
Passos para desenhar o gráfico:
  1. Vértice: Marque o ponto .
  2. Eixo de simetria: Desenhe a reta vertical .
  3. Foco: Marque o ponto acima do vértice.
  4. Diretriz: Desenhe a reta horizontal abaixo do vértice.
  5. Pontos adicionais: Escolha valores de próximos ao vértice para calcular e desenhar a curva da parábola.
Por ser uma parábola que abre para cima, o gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo de simetria, passando pelo vértice e se afastando conforme se afasta.

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
y = 116(x + 1)^2 - 2
Elementos da Parábola:
  • Vértice:
  • Eixo de Simetria:
  • Foco:
  • Diretriz:
  • Abertura: Para cima
O gráfico da parábola apresenta uma curva simétrica em relação ao eixo , com vértice em , foco em e diretriz na reta .

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