Encontre a equação reduzida, represente graficamente e depois determine os elementos das cônicas (centro, focos, vértices. diretriz, eixos de simetria):
.
Passo 1
Beleza, então temos a equação
. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação na forma mais simples possível, ou seja, a equação reduzida. Depois, vamos desenhar o gráfico dessa equação e identificar os principais elementos da cônica, como centro, focos, vértices, diretriz e eixos de simetria. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parábolas, que é a cônica que estamos lidando aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da parábola. A gente quer isolar os termos em
de um lado. Então, vamos deixar
sozinho:
Agora, dividimos todos os termos por 16 para deixar
isolado:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para transformar a equação em uma forma mais reconhecível de uma parábola. A ideia aqui é reescrever a parte que envolve
de forma que possamos identificar a abertura e a posição da parábola.
Primeiro, focamos nos termos com
:
Podemos fatorar o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para isso, tomamos a metade do coeficiente de
, que é 1, e elevamos ao quadrado, resultando em 1. Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro do parênteses:
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Passo 4
Pronto! Agora temos a equação reduzida da parábola:
Essa forma nos mostra que a parábola abre para cima, já que o coeficiente de
é positivo. Além disso, o termo
indica que a parábola está transladada 1 unidade para a esquerda, e o termo constante
indica que está 2 unidades para baixo.
Passo 5
Vamos identificar os elementos da parábola:
-
Vértice: É o ponto onde a parábola muda de direção. A forma reduzida
mostra que o vértice é . No nosso caso, temos e . Então, o vértice é . -
Eixo de simetria: É a linha que passa pelo vértice e divide a parábola em duas partes iguais. Para parábolas que abrem para cima ou para baixo, o eixo de simetria é uma reta vertical do tipo
. Portanto, nosso eixo de simetria é . -
Foco: É um ponto dentro da parábola que ajuda a definir sua curvatura. A distância do vértice ao foco é dada por
. No nosso caso, , então:
Como a parábola abre para cima, o foco fica 4 unidades acima do vértice:
- Diretriz: É uma reta perpendicular ao eixo de simetria e fica do lado oposto do foco em relação ao vértice. A distância da diretriz ao vértice é a mesma do foco, ou seja, 4 unidades. Então, a diretriz está 4 unidades abaixo do vértice:
- Vértices: No caso de uma parábola, temos apenas um vértice, que já identificamos como
.
Passo 6
Para representar graficamente a parábola, usamos a equação reduzida que encontramos:
Passos para desenhar o gráfico:
- Vértice: Marque o ponto
. - Eixo de simetria: Desenhe a reta vertical
. - Foco: Marque o ponto
acima do vértice. - Diretriz: Desenhe a reta horizontal
abaixo do vértice. - Pontos adicionais: Escolha valores de
próximos ao vértice para calcular e desenhar a curva da parábola.
Por ser uma parábola que abre para cima, o gráfico será uma curva simétrica em relação ao eixo de simetria, passando pelo vértice e se afastando conforme
se afasta.
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Elementos da Parábola:
- Vértice:
- Eixo de Simetria:
- Foco:
- Diretriz:
- Abertura: Para cima
O gráfico da parábola apresenta uma curva simétrica em relação ao eixo
, com vértice em
, foco em
e diretriz na reta
.