Os pontos abaixo são dados em coordenadas cartesianas. Encontre ao menos duas representacōes em coordenadas polares.
(4,4 raiz3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar pelo menos duas representações em coordenadas polares para o ponto dado nas coordenadas cartesianas . Vamos usar os conceitos de conversão entre coordenadas cartesianas e polares, precisando das fórmulas para calcular a distância até a origem ( ) e o ângulo ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância r = raizx^2 + y^2 , que é a hipotenusa do triângulo formado pelas coordenadas r = raiz4^2 + (4raiz3)^2 = raiz16 + 48 = raiz64 = 8 e . Usamos a fórmula:
Para e :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o ângulo tan(theta) = yx . O ângulo pode ser calculado usando a tangente:
theta = arctan(4raiz34) = arctan(raiz3)
Então:
Sabemos que radianos.

Passo 4

As coordenadas polares permitem múltiplas representações do mesmo ponto adicionando múltiplos de (r, theta) = (8, pi3) ao ângulo (r, theta) = (8, pi3 + 2pi) = (8, 7pi3) . Assim, para obter duas representações diferentes, podemos adicionar ao ângulo encontrado:
Primeira representação:
Segunda representação:

Resposta

Duas representações em coordenadas polares para o ponto (8, pi3) e (8, 7pi3) são:

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