Ache a equação cartesiana do plano Pi, onde:
b. Pi passa pelos pontos A=(1,3,1), B=(1,0,1) e C=(1,0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação cartesiana de um plano que passa por três pontos: , e . O conteúdo que vamos usar aqui é de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de um plano no espaço usando três pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a equação geral de um plano é dada por:
Ax + By + Cz + D = 0
onde , , e são os coeficientes que determinam a orientação do plano, e é o termo constante.

Passo 3

Para achar esses coeficientes, vamos usar os três pontos que pertencem ao plano. Uma estratégia comum é encontrar dois vetores que estão no plano e depois calcular o produto vetorial deles para encontrar a normal do plano.

Passo 4

Vamos encontrar dois vetores no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos:
AB = B - A = (1-1, 0-3, 1-1) = (0, -3, 0)
AC = C - A = (1-1, 0-3, 0-1) = (0, -3, -1)

Passo 5

Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar um vetor normal ao plano:
n = AB times AC
n = i & j & k 0 & -3 & 0 0 & -3 & -1
n = i((-3)(-1) - (0)(-3)) - j((0)(-1) - (0)(0)) + k((0)(-3) - (-3)(0))
n = i(3 - 0) - j(0 - 0) + k(0 - 0)
n = (3, 0, 0)

Passo 6

Agora que temos o vetor normal 3x + 0y + 0z + D = 0 , podemos usar as coordenadas de um dos pontos para determinar o valor de 3(1) + 0(3) + 0(1) + D = 0 na equação do plano. Vamos usar o ponto 3 + D = 0 :
D = -3
Substituindo , , e :

Resposta

A equação cartesiana do plano 3x - 3 = 0 é:
x = 1
Ou simplificando:

Exercícios relacionados